résidus et coupures

[ouzala]

Bonjour

Dans le cadre du calcul d'intégrales à l'aide du théorème des résidus, comment faut il procéder lorsque le parcours choisit dans C contourne un pôle placé sur une coupure?

Par exemple avec la fonction , en prenant la coupure sur R positif

Il y a deux choses qui me turlupinent:

D'une part je ne sais pas quoi faire avec le résidu en z=1. Doit il être calculé de part et d'autre de la coupure ?
(Je parcours l'axe réel des deux cotés de la coupure, aller et retour)
Ce qui est étrange c'est que je ne trouve aucun résidu si théta-->0 et un résidu de i(Pi) pour théta --> 2(Pi)

D'autre part est ce que les coupures respectives du log et de la racine s'annulent? (on a vu que des superpositions de coupures peuvent s'annuler mais je n'ai pas bien compris de quelle façon)


Merci pour votre aide!
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[breukin]

Le problème, c'est que le contour ne peut pas traverser la coupure, pas plus qu'il ne peut passer par un pôle.
Il peut éventuellement longer la coupure.

Exemple de contour licite :
de vers en longeant le dessus de la coupure
+ demi-cercle supérieur sens indirect de rayon
+ de vers en longeant le dessus de la coupure
+ cercle sens direct de rayon
+ de vers vers en longeant le dessous de la coupure
+ demi-cercle inférieur sens indirect de rayon
+ de vers en longeant le dessous de la coupure
+ cercle sens indirect de rayon

Sur ce contour, la fonction possède bien une représentation continue monovaluée (les valeurs sont différentes selon qu'on est dessus ou dessous la coupure), et entoure le pôle .

Donc ici et avec

[ouzala]

C'est bien le contour auquel je pensais, mais mon souci vient du fait
que, en suivant le contour mentionné, on a une singularité supprimable pour ImZ-->0+ mais un pôle d'ordre 1 pour Imz-->0- .Donc le choix de coupure sur l'axe réel fait apparaitre un pôle en +1 qui n'existe pas autrement et je trouve que c'est étrange.

[breukin]

Il n'y a rien d'étrange, puisque le logarithme est discontinu au travers de la coupure choisie.
Sur le demi-cercle supérieur indirect, on a avec , donc , , , , donc , et l'intégrale tend vers 0 avec .
Sur le demi-cercle inférieur indirect, on a avec , donc , , , , donc , et l'intégrale tend vers sauf erreur.

[A voir en vidéo sur Futura]