licenceEquations Différentielles : solutions maximales

[invitecdba8387]

Bonsoir.
Je viens ici pour trouver des réponses à mes questions. Je tiens à préciser que je suis en L1 de MPI (Math Physique Informatique) et que je suis mauvais en Math (à mon grand dam).
Je vous donne l'énoncé de mon exercice d'analyse concernant les équa diff et je vous poserais mes questions juste après :

Exercice

1) Résoudre l'équation différentielle sur ]0,+[

z'= (1/x)z- ln(x)/x

2) On cherche des solutions sur ]0,+[ de l'équation différentielle, d'inconnue y:

x y' + y = y² ln(x) (1)

(a) Quelles sont les solutions (I,y) de (1)qui s'annulent en au moins un point I ?

(b) On suppose que y est une solution de (1) qui ne s'annule pas sur un intervalle I]0,+[, et on pose, pour xI, z(x)= 1/y(x).
Calculer z'(x) en fonction de z(x).

(c) En déduire les solutions maximales de (1), puis celle qui vérifie y(1)=1.


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Voilà. J'espère que ça sera lisible. Mes questions sont les suivantes :
- Pour la question 2)a) je ne vois vraiment pas comment je peux m'y prendre. Il doit y avoir une méthode mais franchement je ne la connais pas. Je ne sais pas de plus comment obtenir l'expression de y(x) (il ne nous la demande pas mais je suppose qu'on doit plus ou moins l'obtenir pour trouver les solutions (I,y) qui s'annulent en x_0).

- Pour le début de la question 2)c) j'ai du mal à voir comment obtenir les solutions maximales. Comme je vous l'ai dit je suis mauvais en math et ma rédaction est affreuse pour les démonstrations. Mais si j'ai bien compris la définition d'une solution dite "maximale", c'est une solution de l'E.D. qui "n'admet pas d'autre prolongement qu'elle même", ou plus simplement (tel que je le comprend) qui est définie sur l'intervalle maximal.
Donc j'ai du mal à voir comment obtenir une solution y(x), c'est surement évident mais je ne vois pas comment m'y prendre.

Voilà où j'en suis. Je précise que c'est mon tout premier message sur un forum de math, et que j'espère l'avoir posté dans sous la bonne forme.
En espérant que vous pourrez m'éclairer.
Cordialement,
Sechs
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[Tiky]

Bonsoir,

Pour la question 2a), tu dois utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz. Il faut simplement justifier que est bien sur .

Quel résultat obtiens-tu à la question 2b) ?

Au passage ton message est très bien rédigé .

[inviteea028771]

2)a) J'aurai dit avec le théorème de Cauchy-Lipschitz, mais je ne suis pas sur que tu l'ai vu.

Enfin en tout cas ça se base sur le fait qu'il n'y a qu'une seule fonction solution qui vérifie la condition de Cauchy y(x0) = 0, et qu'on remarque que la fonction nulle vérifie y(x0) = 0, donc si la fonction s'annule en x0 c'est la fonction nulle


b) Tu as

(1) se réécrit y'/y² = ln(x)/x - 1/x*1/y

En remplaçant on a z'(x) = z(x)/x - ln(x)/x

c) ensuite tu utilises l'exercice 1, tu as donc la valeur de z(x), puis tu te rappelle que :
y(x) = 1/z(x) et c'est gagné

[art17]

salut
pour la 2 a) ce ne seraient pas les solutions MAXIMALES que tu recherches par hasard? si c'est le cas regarde du coté de la fonction nulle et du théorème de Cauchy-Lipschitz.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecdba8387]

Merci pour vos réponses : ).

Alors dans l'ordre :

@ Tiky : oui mais le théorème de Cauchy-Lipschitz (tel qu'on me le donne dans mon cours) permet de démontrer l'existence d'une solution vérifiant bien y()=0, si elle est sur I , mais dans la question j'ai l'impression qu'il est demandé de donner explicitement les solutions y(x).
Nan ? Ou suffit-il juste de montrer leur existence (via Cauchy-Lipschitz comme vous me le conseillez) ? Enfin c'est comme ça que je le comprend.

Quel résultat obtiens-tu à la question 2b) ?

J'obtiens :
z'(x)= -y'(x)/(y(x)²)
Et donc en divisant (1) par y(x)² et en remplaçant par z(x) on retombe directement sur l'équation de la question 1).

@ Triss :
Merci, mais j'avais déjà fait cette partie purement pratique de l'exercice (pour le b) et le c)).

Pour en revenir à ta réponse pour le a) j'ai du mal à comprendre. On me demande de trouver les solutions (I,y) telles que y()=0. On voit bien que ça marche pour y(x) = 0 pour x I, mais est ce la seule solution ?
--> Vu qu'on me dit "Quelles sont les solutions (I,y)" je pensais devoir fournir une réponse plus complète.
Ai-je tort, ou est-ce aussi simple que cela ?

c) ensuite tu utilises l'exercice 1, tu as donc la valeur de z(x), puis tu te rappelle que :
y(x) = 1/z(x) et c'est gagné

Pas de soucis à ce niveau, c'est juste que je ne sais pas comment prouver que mon y(x) est la (ou les) solution maximale.

@ art17 :

pour la 2 a) ce ne seraient pas les solutions MAXIMALES que tu recherches par hasard? si c'est le cas regarde du coté de la fonction nulle et du théorème de Cauchy-Lipschitz.

Je ne sais pas. Je vous ais donné l'énoncé exact tel qu'il est écrit, ni plus ni moins.
On nous demande de donner les solutions maximales pour la question 2)c), mais j'ai du mal avec le concept.
Quand on nous demande :

"Quelles sont les solutions (I,y) de (1)qui s'annulent en au moins un point I ?"

Est-on supposé donner les solutions maximales ? Déjà que je ne trouve même pas les solutions non-maximales...

Voilà, voilà.
En tout cas je vous remercie de votre aide, mais j'ai encore du mal à comprendre vos réponses.

[art17]

normalement le théorème de Cauchy Lipschitz assure l'unicité de la solution maximale donc en montrant que 0 est solution "partout" donc solution maximale tu as la solution maximale, c'est pourquoi je t'ai posé cette question d'ailleurs dans bien des cas on utilise ainsi le théorème de Cauchy Lipschitz pour montrer que la solution maximale ne s'annule pas et quand tu dis que tu ne trouve "même pas" les non maximale c'est normal... c'est souvent pas possible

[invitecdba8387]

Ok ! Merci, je viens de comprendre .

Donc pour la question 2)c), supposons que je prouve pour y(x) = 1/z(x) qu'elle est valable partout (cad sur l'ensemble de définition ), alors elle est solution maximale ?

Dernière question : si ce que je viens de dire est juste (ce qui est loin d'être une certitude me connaissant) alors il existe une infinité (enfin beaucoup) de solution (I,y) maximales pour cette équation nan (si on ne donne pas de condition initiale comme ) ?

[Tiky]

Ok ! Merci, je viens de comprendre .

Donc pour la question 2)c), supposons que je prouve pour y(x) = 1/z(x) qu'elle est valable partout (cad sur l'ensemble de définition ), alors elle est solution maximale ?

Dernière question : si ce que je viens de dire est juste (ce qui est loin d'être une certitude me connaissant) alors il existe une infinité (enfin beaucoup) de solution (I,y) maximales pour cette équation nan (si on ne donne pas de condition initiale comme ) ?

Oui. Elle forme une partition de d'après Cauchy-Lipschitz.