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Exercice sur les solutions/solutions maximales



  1. #1
    herman

    Exercice sur les solutions/solutions maximales


    ------

    Bonjour,

    En regardant quelques exercices, je suis tombé sur un énoncé qui ne m'inspire pas :

    On considère l'équation différentielle :
    (E) :
    On note toute solution de (E) sur un intervalle de et on cherche les solutions éventuelles de (E) sur .
    1) Résoudre (E) et exprimer en fonction de pour tout .
    2) Montrer que (E) admet au plus 4 solutions définies au voisinage du point et vérifiant
    3) Montrer que seules deux des fonctions trouvées en 2) sont des solutions maximales de (E) définies sur l'intervalle .

    Bon pour la résolution de (E) pas de problème :

    Je ne vois pas trop la suite. Déjà je ne comprends pas l'intérêt d'élever la solution au carré (et non ?)
    Quant à la suite, je ne vois pas comment résoudre la question 2 et je ne vois pas (plus ?) ce qu'est une solution maximale, les articles de wikipedia étant sur ce point beaucoup trop axés d'une manière qui me rend la lecture impossible...

    -----

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  3. #2
    mystic_snake [Théo]

    Re : Exercice sur les solutions/solutions maximales

    Euh, quel niveau as-tu?
    Il y a quand même un ensemble de solutions à une équation différentielle qui ne se résume pas à un singleton en général, ensemble qui en principe apparait naturellement quand tu résous ton équation différentielle. Tu as ici une solution particulière, mais absolument pas toutes les solutions. As-tu essayé de résoudre proprement ton équation?
    Dernière modification par mystic_snake [Théo] ; 08/06/2008 à 20h20. Motif: texte

  4. #3
    herman

    Re : Exercice sur les solutions/solutions maximales

    Niveau L2 de physique.

    Je ne vois pas d'autre manière de résoudre l'exercice :/

  5. #4
    God's Breath

    Re : Exercice sur les solutions/solutions maximales

    La fonction est solution de (E) sur si, et seulement si, pour tout de , on a , soit .
    En primitivant, on voit que est solution de (E) sur si, et seulement si, pour tout de , on a , où est une constante, et l'on obtient facilement l'expression demandée : .

    La condition impose , donc ou .
    Sur , ne s'annule pas, donc ne sannule pas, et garde un signe constant.
    Le quatre solutions éventuelles sont donc :




    qu'il te reste à étudier...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. #5
    herman

    Re : Exercice sur les solutions/solutions maximales

    Merci beaucoup God's Breath (comme toujours ^^), je vois que je suis parti sur de très mauvaises bases dans cette exercice, c'est assez effrayant :/.

    Pourrais-tu me donner une définition simple d'une "solution maximale", je ne connais pas la nuance avec une solution simple.

    EDIT : Juste une chose, je ne comprends pas trop l'idée autour de de signe constant

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    herman

    Re : Exercice sur les solutions/solutions maximales

    Enfin je vais être plus précis (désolé je ne pouvais plus éditer), je comprends pourquoi la fonction est de signe constant (continue et ne s'annule pas) mais en quoi ça te sert de le préciser ?

    EDIT : Et encore un truc, la question 2) est complète ici non ? L'étude correspond à la question 3) ?

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  10. #7
    God's Breath

    Re : Exercice sur les solutions/solutions maximales

    Citation Envoyé par herman Voir le message
    Enfin je vais être plus précis (désolé je ne pouvais plus éditer), je comprends pourquoi la fonction est de signe constant (continue et ne s'annule pas) mais en quoi ça te sert de le préciser ?

    EDIT : Et encore un truc, la question 2) est complète ici non ? L'étude correspond à la question 3) ?
    J'ai besoin de savoir que la fonction est de signe constant pour préciser le signe "+" ou "-" devant la racine carrée ; il pourrait se faire que la fonction change de signe (en cas de phénomène vibratoire par exemple), et que l'on soit obligé de prendre "+" sur certains intervalles, et "-" sur les autres intervalles.

    Je ne sais pas si la question 2 est vraiment complète, parce qu'il faut étudier précisément sur quels intervalles les solutions trouvées sont définies.

    Une solution maximale, c'est une solution que l'on ne peut pas prolonger sur un intervalle plus grand.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #8
    herman

    Re : Exercice sur les solutions/solutions maximales

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    J'ai besoin de savoir que la fonction est de signe constant pour préciser le signe "+" ou "-" devant la racine carrée ; il pourrait se faire que la fonction change de signe (en cas de phénomène vibratoire par exemple), et que l'on soit obligé de prendre "+" sur certains intervalles, et "-" sur les autres intervalles.

    Je ne sais pas si la question 2 est vraiment complète, parce qu'il faut étudier précisément sur quels intervalles les solutions trouvées sont définies.

    Une solution maximale, c'est une solution que l'on ne peut pas prolonger sur un intervalle plus grand.
    Ah ok, je n'avais pas été chercher si loin pour le signe.

    Quant à ta définition de la solution maximale, je crois ne jamais avoir entendu ça en cours, ça me sera d'une grande aide ^^. (à vrai dire je crois qu'on a jamais vraiment défini la chose :/)

    Merci

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