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[L1/Sup] Endomorphisme : 2 équivalences



  1. #1
    anonymus

    [L1/Sup] Endomorphisme : 2 équivalences

    Bonjour.
    J'aimerai une ptite vérification sur cette exercice d'algèbre linéaire svp

    Soit E un ev, et f un endomorphisme de E.

    1) Mq Ker(f) = Ker(f²) <=> l'intersection de Ker(f) et Im(f) = 0

    2) Mq Im(f) = Im(f²) <=> E = Ker(f) + Im(f)




    1) Supposons Ker(f) = Ker(f²).
    Soit y appartenant à l'intersection considérée, f(y) = 0 et il existe x tq f(x) = y donc f²(x) = f(y) = 0 donc f(x) = 0 donc y = 0


    Supposons maintenant que l'intersection soit nulle. De plus, on sait que Ker(f) inclus dans Ker(f²) (facile à montrer).
    Montrons que Ker(f²) inclus dans Ker(f).
    Soit x de Ker(f²), f²(x) = 0 donc f(f(x)) = 0 donc f(x) appartient à Ker(f).
    Or f(x) appartient aussi à Im(f).
    Donc f(x) = 0 donc Ker(f) = Ker(f²)



    2) Supposons Im(f) = Im(f²). Montrons que l'intersection de Ker(f) et Im(f) = 0
    Soit y de cette intersection. f(y) = 0 et il existe x tq f(x) = y. De plus, f²(x) = f(x) = y
    D'où f²(x) = f(x) = f(y) = 0, or f(x) = y donc y = 0.

    Par ailleurs, montrons que tout élément de E se décompose comme une somme d'élément de Ker(f) et de Im(f).
    Soit x de E, x = (x-f(x)) + f(x), où x-f(x) est dans Ker(f) et f(x) dans Im(f).
    Vérifions que x-f(x) est bien dans Ker(f) :
    Soit x de E, f(x-f(x)) = f(x) - f²(x) = 0 car Im(f) = Im(f²) et Ker(f) = Ker(f²) donc f = f²


    Supposons à présent que E = Ker(f) + Im(f).
    Soit y de Im(f), il existe x de E tq f(x)=y
    Or x appartient à E, donc il existe un unique couple (k,i) de Ker(f)xIm(f) tq x = k + i
    donc f(x) = f(k) + f(i) = f(i). Or i est de Im(f), donc il existe z de E tq i = f(z).
    D'où f(x) = f²(z) donc y = f²(z). Donc Im(f) = Im(f²)

    -----

    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : [L1/Sup] Endomorphisme : 2 équivalences

    Salut
    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    1) Supposons Ker(f) = Ker(f²).
    Soit y appartenant à l'intersection considérée, f(y) = 0 et il existe x tq f(x) = y donc f²(x) = f(y) = 0 donc f(x) = 0 donc y = 0
    Ok
    Supposons maintenant que l'intersection soit nulle.
    On dit plutôt que l'intersection est réduite au vecteur nul ou au singleton .
    De plus, on sait que Ker(f) inclus dans Ker(f²) (facile à montrer).
    Tu as tout aussi vite fait d'écrire la démonstration que de dire que c'est "facile". (sauf que dans le premier cas tu es sûr d'avoir les points )
    Montrons que Ker(f²) inclus dans Ker(f).
    Soit x de Ker(f²), f²(x) = 0 donc f(f(x)) = 0 donc f(x) appartient à Ker(f).
    Or f(x) appartient aussi à Im(f).
    Donc f(x) = 0 donc Ker(f) = Ker(f²)
    Ok

    2) Supposons Im(f) = Im(f²). Montrons que l'intersection de Ker(f) et Im(f) = 0
    Ne pas oublier les accolades : est le vecteur nul, est l'ensemble dont l'unique élément est le vecteur nul.
    Soit y de cette intersection. f(y) = 0 et il existe x tq f(x) = y. De plus, f²(x) = f(x) = y
    Dans en tant que -espace vectoriel, considères l'application linéaire . L'espace image de est le même que celui de : mais .

    [...] Im(f) = Im(f²) et Ker(f) = Ker(f²) donc f = f²
    Même contre-exemple que précédemment.

    Supposons à présent que E = Ker(f) + Im(f).
    Soit y de Im(f), il existe x de E tq f(x)=y
    Or x appartient à E, donc il existe un unique couple (k,i) de Ker(f)xIm(f) tq x = k + i
    donc f(x) = f(k) + f(i) = f(i). Or i est de Im(f), donc il existe z de E tq i = f(z).
    D'où f(x) = f²(z) donc y = f²(z). Donc Im(f) = Im(f²)
    Ne pas oublier de dire que .

    Pour la seconde question, si E est de dimension finie, on a plus vite fait de se réutiliser les résultats de la première équivalence.
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 08/06/2008 à 08h49.

  3. #3
    anonymus

    Re : [L1/Sup] Endomorphisme : 2 équivalences

    Merci pour ta réponse !
    Je préfère éviter de supposer que E est de dimension finie.
    Pour les démos "faciles" à vérifier (à savoir Ker(f) C Ker(f²) et Im(f²) C Im(f)), c'est juste que j'avais la flemme de les écrire, surtout que comme j'écris pas en latex, ben c'est moche.

    Ma difficulté se réduit à cette implication : Im(f) = Im(f²) => E = Ker(f) + Im(f)

    Je pense voir mon erreur mais je ne vois pas trop comment la corriger.
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

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