[L1/Sup] Endomorphisme : 2 équivalences

[invitefc60305c]

Bonjour.
J'aimerai une ptite vérification sur cette exercice d'algèbre linéaire svp

Soit E un ev, et f un endomorphisme de E.

1) Mq Ker(f) = Ker(f²) <=> l'intersection de Ker(f) et Im(f) = 0

2) Mq Im(f) = Im(f²) <=> E = Ker(f) + Im(f)




1) Supposons Ker(f) = Ker(f²).
Soit y appartenant à l'intersection considérée, f(y) = 0 et il existe x tq f(x) = y donc f²(x) = f(y) = 0 donc f(x) = 0 donc y = 0


Supposons maintenant que l'intersection soit nulle. De plus, on sait que Ker(f) inclus dans Ker(f²) (facile à montrer).
Montrons que Ker(f²) inclus dans Ker(f).
Soit x de Ker(f²), f²(x) = 0 donc f(f(x)) = 0 donc f(x) appartient à Ker(f).
Or f(x) appartient aussi à Im(f).
Donc f(x) = 0 donc Ker(f) = Ker(f²)



2) Supposons Im(f) = Im(f²). Montrons que l'intersection de Ker(f) et Im(f) = 0
Soit y de cette intersection. f(y) = 0 et il existe x tq f(x) = y. De plus, f²(x) = f(x) = y
D'où f²(x) = f(x) = f(y) = 0, or f(x) = y donc y = 0.

Par ailleurs, montrons que tout élément de E se décompose comme une somme d'élément de Ker(f) et de Im(f).
Soit x de E, x = (x-f(x)) + f(x), où x-f(x) est dans Ker(f) et f(x) dans Im(f).
Vérifions que x-f(x) est bien dans Ker(f) :
Soit x de E, f(x-f(x)) = f(x) - f²(x) = 0 car Im(f) = Im(f²) et Ker(f) = Ker(f²) donc f = f²


Supposons à présent que E = Ker(f) + Im(f).
Soit y de Im(f), il existe x de E tq f(x)=y
Or x appartient à E, donc il existe un unique couple (k,i) de Ker(f)xIm(f) tq x = k + i
donc f(x) = f(k) + f(i) = f(i). Or i est de Im(f), donc il existe z de E tq i = f(z).
D'où f(x) = f²(z) donc y = f²(z). Donc Im(f) = Im(f²)
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[Flyingsquirrel]

Salut

1) Supposons Ker(f) = Ker(f²).
Soit y appartenant à l'intersection considérée, f(y) = 0 et il existe x tq f(x) = y donc f²(x) = f(y) = 0 donc f(x) = 0 donc y = 0

Ok

Supposons maintenant que l'intersection soit nulle.

On dit plutôt que l'intersection est réduite au vecteur nul ou au singleton .

De plus, on sait que Ker(f) inclus dans Ker(f²) (facile à montrer).

Tu as tout aussi vite fait d'écrire la démonstration que de dire que c'est "facile". (sauf que dans le premier cas tu es sûr d'avoir les points )

Montrons que Ker(f²) inclus dans Ker(f).
Soit x de Ker(f²), f²(x) = 0 donc f(f(x)) = 0 donc f(x) appartient à Ker(f).
Or f(x) appartient aussi à Im(f).
Donc f(x) = 0 donc Ker(f) = Ker(f²)

Ok

2) Supposons Im(f) = Im(f²). Montrons que l'intersection de Ker(f) et Im(f) = 0

Ne pas oublier les accolades : est le vecteur nul, est l'ensemble dont l'unique élément est le vecteur nul.

Soit y de cette intersection. f(y) = 0 et il existe x tq f(x) = y. De plus, f²(x) = f(x) = y

Dans en tant que -espace vectoriel, considères l'application linéaire . L'espace image de est le même que celui de : mais .

[...] Im(f) = Im(f²) et Ker(f) = Ker(f²) donc f = f²

Même contre-exemple que précédemment.

Supposons à présent que E = Ker(f) + Im(f).
Soit y de Im(f), il existe x de E tq f(x)=y
Or x appartient à E, donc il existe un unique couple (k,i) de Ker(f)xIm(f) tq x = k + i
donc f(x) = f(k) + f(i) = f(i). Or i est de Im(f), donc il existe z de E tq i = f(z).
D'où f(x) = f²(z) donc y = f²(z). Donc Im(f) = Im(f²)

Ne pas oublier de dire que .

Pour la seconde question, si E est de dimension finie, on a plus vite fait de se réutiliser les résultats de la première équivalence.

[invitefc60305c]

Merci pour ta réponse !
Je préfère éviter de supposer que E est de dimension finie.
Pour les démos "faciles" à vérifier (à savoir Ker(f) C Ker(f²) et Im(f²) C Im(f)), c'est juste que j'avais la flemme de les écrire, surtout que comme j'écris pas en latex, ben c'est moche.

Ma difficulté se réduit à cette implication : Im(f) = Im(f²) => E = Ker(f) + Im(f)

Je pense voir mon erreur mais je ne vois pas trop comment la corriger.