Solutions maximales équations differentielles

[invite9ac8f13d]

Bonjour ; j'ai l'équation :

(exp (x) -1 ) y'(x) + exp(x) y(x) = 1
j'ai trouvé la solution "homogène " :
λ1/( exp(x)-1 ) pour ]-∞,0[
λ1/( exp(x)-1 ) pour ]0,+∞ [

x0=0 est 1 point particulier
pour la solution part je trouve y0(x) = x/( exp(x)-1 )

et dc la solution générale =
( λ1 + x )/( exp(x)-1 ) pour ]-∞,0[
( λ1 + x )/( exp(x)-1 ) pour ]0,+∞ [

On me demande de trouver les solutions maximales de l'équation diff ; comment je m'y prend ???
Voici les calculs et résultats que j'ai déja obtenus :

lim (0+) de g(x) = +∞
lim (0-) de g(x) = - ∞

g'(x) = - [ (x + λ -1)exp(x) +1 ] / (exp(x) - 1 )²

lim (0+) de g(x)- g(0) / x - 0 = +∞
lim (0-) de g(x)- g(0) / x - 0 = - ∞

Quelles conclusions dois-je tirer ???
Me suis - je tromper ????
Que dois je faire pour trouver les solutions maximales

MERCI
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[invite9ac8f13d]

aucune réponse ???

[invite9ac8f13d]

quelque peut 'il me répondre

[inviteaf1870ed]

Y a t il une valeur de lambda qui te donne une solution définie sur tout IR ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9ac8f13d]

je mets à jour mon post :
Les solution générales sont :
( λ1 + x )/( exp(x)-1 ) pour ]-∞,0[
( λ1 + x )/( exp(x)-1 ) pour ]0,+∞ [

en posant x=0 on trouve :
y(0) = 1 qui est une forme de solution de l'équation.

On me demande les solutions maximales sur R*.
g posé la fonction g défiinie par :
g(0)=1
g(x)= x /( exp(x)-1 ) appartenant à R*
est solution de l'équation différentielle et continue en 0.

Que dois-je faire ???
Montrer l'unicité de g ou bien montrer que g a une multitude de solution ???
Comment je m'y prends ???
Je sais que je dois calculer la limite de g lorsqu'il tend vers 0 avec x en 0+ et x en 0- .
En fonction des résultats obtenus que dois-je déduire ???