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  1. #1
    invite616a69c2

    Groupe


    ------

    Bonjour,

    j'ai besoin d'un petit coup de main, j'ai toujours eu des problèmes pour démontrer qu'un ensemble est un groupe et c'est encore le cas.
    Je veux montrer que l'ensemble muni de la multiplication est un groupe isomorphe à (Z/nZ,+)*

    Tout d'abord je dois montrer que est un groupe donc:
    - Loi de composition interne
    - Associativité
    - Élément neutre
    - Inverse

    Mon problème est:
    je fais varier k, c'est ça???
    soit k et k', appartient à

    Merci de m'aider.
    Amanda

    -----

  2. #2
    Romain-des-Bois

    Re : Groupe

    Bonjour,

    l'élément neutre n'est pas dans (dans la définition que tu as donnée)

    Citation Envoyé par Amanda83 Voir le message
    soit k et k', appartient à
    On a , ce qui devrait t'aider...

    Pour la multiplication en : \times

  3. #3
    invite616a69c2

    Re : Groupe

    Oups j'ai oublié le 0
    C'est

    Sinon c'est bien "soit k et k' "
    Mais normalement, quand on veut montrer que G est un groupe, on pose:
    Soit a,b appartenant à G,...

    La je dois mettre quoi?? Soit k, k' appartenant à ?

    En fait mon problème est plus niveau redaction.

  4. #4
    Médiat

    Re : Groupe

    Bonjour
    Citation Envoyé par Amanda83 Voir le message
    Je veux montrer que l'ensemble muni de la multiplication est un groupe isomorphe à (Z/nZ,+)*

    Tout d'abord je dois montrer que est un groupe donc:
    Cela ne sert à rien de démontrer que l'ensemble des un est un groupe, si on doit ensuite démontrer qu'il est isomorphe à un groupe connu.

    Il suffit de démontrer, que l'isomorphisme existe bien, ce sera suffisant pour montrer qu'il s'agit bien d'un groupe.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite616a69c2

    Re : Groupe

    Donc je met:
    sachant que , on peut définir l'application f de vers Z/nZ par
    f:

    on a alors donc f est un homomorphisme.
    Reste à vérifier qu'il est bijectif!

  7. #6
    cleanmen

    Re : Groupe

    Salut,
    tu peux utiliser le théorème d'isomorphisme

    en définissant le morphisme f de Z dans Un qui a k associe e^(i2Pi*k/n)
    de kernel le sous groupe nZ.

  8. #7
    invite616a69c2

    Re : Groupe

    L'application que je définis n'est pas bonne???
    Si elle est bonne, comment je calcule le noyau (d'ailleurs c'est impossible).
    Je bloque un peu.
    Merci de vos explications

  9. #8
    invite616a69c2

    Re : Groupe

    Je n'ai pas compris pourquoi je ne pouvais pas prendre l'application que j'ai choisit au depart, si quelqu'un peut m'expliquer!

    Sinon, soit l'application ,
    et
    donc f est un morphisme.
    Soit k différent de k'

    donc f est injective.
    f est surjective car pour tout de , il existe tel que d'apres la définition de f.

    Donc f est un morphisme bijectif, c'est donc un isomorphisme.

    C'est bon?

  10. #9
    invite616a69c2

    Re : Groupe

    Encore un petit coup de main pour me dire:
    - si ce que j'ai marqué est juste
    - si je peux prendre l'application ,

    Merci

  11. #10
    US60
    Invité

    Re : Groupe

    Les deux façons de faire sont correctes...
    La deuxième dit que l'image réciproque de 1 élément neutre est la classe de 0 donc le noyau est réduit à l'élément neutre donc ton application est injective d'un ensemble ayant n éléments vers un ensemble de même cardinal dons est bijective ....Le morphisme démontré dans chaque cas prouve qu'il y a un isomorphisme entre les deux ensembles.

  12. #11
    invite616a69c2

    Re : Groupe

    Ok merci beaucoup à tous pour l'aide.

    Bonne fin de journée.

    Amanda

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