Bonsoir, si (E) est l'équation différentielle : y' = f(y,t) où f est une fonction continue de R², vérifiant éventuellement une condition de Lipschitz et telle que l'application partielle y -> f(y,t) est décroissante pour tout t ; alors a-t'on : la différence entre deux solutions de (E) décroit vers 0 quand t tend vers + l'infini ?
Si oui comment le démontrer ??!
On peut même supposer y->f(y,t) strictement décroissante.
Bon je viens de trouver, et la réponse est non !
Contre-exemple : f(y,t) = t/y pour t et y dans R+* donne
y'=t/y
yy'=t
y²=y(0)²+t²
la différence entre deux solutions telles que y1(0)=1 et y2(0) = 2 diverge.
Non j'ai dit une bêtise ! La différence converge bien vers 0 en décroissant !!!!
Personne ?
Non la différence est constante à y2(0)-y1(0)...Envoyé par peloponnese
J'ai oublié les carrés...
C'est vrai si f est strictement décroissante en y (si elle n'est que décroissante, il suffit de prendre f identiquement égale à 1 pour voir que ça ne marche pas).
La démonstration n'est pas très compliquée, mais il y a de petits efforts à faire, notamment concernant l'ensemble de définition des solutions. Si personne ne le fait avant, je poste une solution vers 18h30 ou vers 23h30.
En fait, je me suis planté : c'est faux. Sidiminue suffisamment vite quand
Par exemple :
Les solutions sont de la forme
Sont les hypothèses que tu as introduites, on peut montrer la convergence de la différence entre deux solutions en temps grand, pas que cette limite est nulle.
