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Equations différentielles : différence entre deux solutions.



  1. #1
    peloponnese

    Equations différentielles : différence entre deux solutions.


    ------

    Bonsoir, si (E) est l'équation différentielle : y' = f(y,t) où f est une fonction continue de R², vérifiant éventuellement une condition de Lipschitz et telle que l'application partielle y -> f(y,t) est décroissante pour tout t ; alors a-t'on : la différence entre deux solutions de (E) décroit vers 0 quand t tend vers + l'infini ?
    Si oui comment le démontrer ??!

    -----

  2. #2
    peloponnese

    Re : Equations différentielles : différence entre deux solutions.

    On peut même supposer y->f(y,t) strictement décroissante.

  3. #3
    peloponnese

    Re : Equations différentielles : différence entre deux solutions.

    Bon je viens de trouver, et la réponse est non !
    Contre-exemple : f(y,t) = t/y pour t et y dans R+* donne
    y'=t/y
    yy'=t
    y²=y(0)²+t²
    la différence entre deux solutions telles que y1(0)=1 et y2(0) = 2 diverge.

  4. #4
    peloponnese

    Re : Equations différentielles : différence entre deux solutions.

    Non j'ai dit une bêtise ! La différence converge bien vers 0 en décroissant !!!!

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    peloponnese

    Re : Equations différentielles : différence entre deux solutions.

    Personne ?

  7. #6
    Garnet

    Re : Equations différentielles : différence entre deux solutions.

    Citation Envoyé par peloponnese Voir le message
    Non j'ai dit une bêtise ! La différence converge bien vers 0 en décroissant !!!!
    Non la différence est constante à y2(0)-y1(0)...

  8. #7
    Garnet

    Re : Equations différentielles : différence entre deux solutions.

    J'ai oublié les carrés...

  9. #8
    Garf

    Re : Equations différentielles : différence entre deux solutions.

    C'est vrai si f est strictement décroissante en y (si elle n'est que décroissante, il suffit de prendre f identiquement égale à 1 pour voir que ça ne marche pas).
    La démonstration n'est pas très compliquée, mais il y a de petits efforts à faire, notamment concernant l'ensemble de définition des solutions. Si personne ne le fait avant, je poste une solution vers 18h30 ou vers 23h30.

  10. #9
    Garf

    Re : Equations différentielles : différence entre deux solutions.

    En fait, je me suis planté : c'est faux. Si diminue suffisamment vite quand croît, il est possible de "tuer" la progression d'une des solutions vers une autre.

    Par exemple : , qui vérifie toutes les hypothèses que l'on désire.
    Les solutions sont de la forme , et convergent en temps grand vers . En particulier, si on prend deux solutions distinctes, leur différence converge vers un réel non nul.
    Sont les hypothèses que tu as introduites, on peut montrer la convergence de la différence entre deux solutions en temps grand, pas que cette limite est nulle.

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