soit l'équation xy"(x) + 2(1-x)y'x + (x-2)y(x)=1
J'ai calculé la solution générale complète et je trouve :
(-λ1/x + k +e^x)e^x + (x+1)/x x € R*+
(-λ2/x + k +e^x)e^x + (x+1)/x x € R*-
λ1 et λ2 € R , k = cstante d'intégration € R
j'ai vérifié avec la calculatrice TI-89 et cela correspond bien.
on me demande de montrer que f(x)= ( 1-e^x )/x est prolongeable par continuité en 0.
je trouve lim f(x) en 0 = -1 et je conclus.
On me demande si la fction prolongée est 2 fois dériveable.
Je pose la fontion g, fonction prolongée de f définie par:
g(0)=-1
g(x)= ( 1-e^x )/x
je poser la dérivée de g : g'(x)= - [ (x-1)e^x +1 ] / x²
je trouve que lim g'(x) en 0 = -1/2
Je conclus dc que G est dérivable sur R.
Je peux donc poser
g'(0)=-1/2
g'(x)=- [ (x-1)e^x +1 ] / x²
je pose la dérivée de g' : g"(x)=- [ (x²-2x+2)e^x -2 ] / x^3
je trouve que lim g"(x) en 0 = +inf
Je conclus que G' est dérivable sur R*
Me suis-je trompé quelque part ???
Mes conclusions st-elles bonnes ???
après on me demande les solutions max de :
xy"(x) + 2(1-x)y'x + (x-2)y(x)=1
je calcule la limite en 0 de la solution (y)
je trouve soit (λ) x (+inf) d'un coté et (λ) x (-inf) d'un autre coté
me suis-je trompé dans le calcul de la limite ???????
si non, que dois-je conclure ????
Je ne vois pas le rapport avec la fonction f(x)= ( 1-e^x )/x posé précédemment.
MERCI pour vos réponses
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