Solutions entières d'une équation

[invited927d23c]

Bonjour,

J'ai la question suivante :

Combien de couples de naturels (x,y) sont solution de l'équation :



J'ai commencé par transformer en :



Donc maintenant il suffit de chercher les valeurs entières de cette hyperbole. En traçant le croquis du graphe du premier quadrant (car x>0 et y>0), on remarque que x>6 (pas de graphe pour x<6). Mais après je vois pas comment on peut calculer le nombre de solution entière, sans tous les chercher (ce qui est fastidieux). Comme l'asymptote horizontale de l'hyperbole est 6 il y a un nombre fini de valeurs entières.

Merci pour toute aide, une approche radicalement différente est bienvenue aussi.
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[invite35452583]

Le plus simple est de "jouer" sur le fait que 1/x et 1/y sont "petits" dès que x et y sont un "peu grands".
Concrètement,
on arrive facilement à xy<=nombre petit
De là il ne reste que quelques couples

[invited927d23c]

Moi j'ai trouvé 8 couples (c'était long, sachant que c'est une question d'olympiade, qui est censé être soluble rapidement, c'est bizzare) mais la bonne réponse est 9. Mais je vois pas quel couple j'ai oublié (même après plusieurs vérifications).

Merci pour votre aide

[invite52c52005]

Je ne sais pas quels couples tu as trouvé. Moi, j'en ai bien 9. As-tu pensé à (12,12) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Désolé pour ma 1ère intervention qui ne fait pas avancer plus vite (bien au contraire). Je vais essayer de me rattraper.

As-tu songé à utiliser la symétrie de l'équation initiale en x,y.
En considérant le plus petit nombre du couple, il n'y a que 7,8,9,10,11,12 à contrôler.

Si tu prépares les olympiades,
il faut être rapide donc après la mise en forme y=6x/(x-6)
Ne pas tracer l'hyperbole (ça c'est bon pour les "vrais mathématiques" pas pour les olympiades qui sont d'un autre style et développent d'autres qualités)
Ne pas oublier que la question est "combien de solutions" et non pas quelles sont les solutions
1) limiter les réponses possibles : on a x>6, puis symétrie, x=12 solution symétrique facile à trouver (poser x=y), autres entre 7 et 11 en les doublant.
2) inutile de calculer les solutions exactes :
exemple d'application de 2)
x=7, x-6=1, 1 divise 6x donc x=7=>2 solutions
x=8, x-8=2, 2 divise 6*8 (sans calculer 6*8) donc 8=>2 solutions
...
x=10-6=4=2*2, donc divise 6*10 (ou calcul explicite de 6*10 mais le calcul explicite de 6x/(x-6) est inutile)=>2 solutions
x=11, x-6=5, 5 premier ne divise pas 6 ne divise pas 11 donc ne divise pas 6*11=>0 solution

Reprends cette méthode, tu constateras que :
1) elle est beaucoup plus rapide
2) amène moins d'erreur de calcul
3) se généralise à quasiment toutes les questions du type "combien de solutions entières à...?" où parfois les calculs exacts sont plus longs mais pas nécessairement vérifier "tel nombre donnera-t-il une solution".

[invited927d23c]

Maintenant j'ai compris le truc. Merci homotopie, surtout le truc de la symétrie est très utile.
Le plus rapide que j'ai trouvé :
Ecrire les fractions de x=7 à x=12 (juste compter le nombre de solutions entières), remarquer qu'après il y a symétrie, et donc il y a 4 solutions après x=12 car il y en a 4 avant. Plus le couple (12,12), ça en fait 9.
Faudra que j'essaye pour la généralisation.

[invite612d1d91]

Bonsoir.
L'expression peut s'écrire y = 6 + 36/(x - 6).
Pour que y soit un entier, il faut et il suffit que x - 6 soit un diviseur de 36.
Or 36 = 2² * 3². 36 a donc 9 diviseurs.
L'équation a donc 9 couples (x;y) solutions :
(7;42), (8;24), (9;18), (10;15), (12;12), (15;10), (18;9), (24;8), (42;7).