x²+y²=k, existe-t-il plusieurs "jeux" de solutions entières ?

[invite234d9cdb]

Bonsoir à tous !

Ne me demandez pas pourquoi je pose cette question, mais : x²+y²=k
x, y, k sont des entiers positifs. Prenons k=4849, construit en faisant 15²+68². On sait donc que une solution à l'équation x²+y²=k avec k=4849 est x=15, y=68 ou encore x=68, y=15.
Ma question, toute simple : existerait-il d'autres entiers x et y permettant d'arriver à 4849 ? Et de manière générale, pour tout k entier construit en élévant deux entiers au carré, existe-t-il d'autres entiers qui élevés au carré donneraient le même k ?
Je sais que pour x²+y²+z²=k, on peut effectivement trouver de nombreux entiers qui permettent d'obtenir k, par exemple 37²+13²+31²=2499=23²+11²+43²=1 ²+47²+17². Mais est-ce aussi le cas pour des problèmes du type x²+y²=k ? J'ai l'impression que non, faute d'avoir trouver un exemple, mais je me trompe peut-être. Existe-t-il une démonstration mathématique qui prouve que pour un nombre entier k construit sur deux entiers x et y élevés au carré, il n'existe pas d'autres entiers qui élevés au carré donne ce même nombre ?
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[invite6b1e2c2e]

Bonsoir à tous !

Ne me demandez pas pourquoi je pose cette question, mais : x²+y²=k
x, y, k sont des entiers positifs. Prenons k=4849, construit en faisant 15²+68². On sait donc que une solution à l'équation x²+y²=k avec k=4849 est x=15, y=68 ou encore x=68, y=15.
Ma question, toute simple : existerait-il d'autres entiers x et y permettant d'arriver à 4849 ? Et de manière générale, pour tout k entier construit en élévant deux entiers au carré, existe-t-il d'autres entiers qui élevés au carré donneraient le même k ?
Je sais que pour x²+y²+z²=k, on peut effectivement trouver de nombreux entiers qui permettent d'obtenir k, par exemple 37²+13²+31²=2499=23²+11²+43²=1 ²+47²+17². Mais est-ce aussi le cas pour des problèmes du type x²+y²=k ? J'ai l'impression que non, faute d'avoir trouver un exemple, mais je me trompe peut-être. Existe-t-il une démonstration mathématique qui prouve que pour un nombre entier k construit sur deux entiers x et y élevés au carré, il n'existe pas d'autres entiers qui élevés au carré donne ce même nombre ?

Salut,

x^2+y^2 = k n'a pas toujours de solution. Par exemple, si k est congru à 3 modulo 4, en travaillant modulo 4, tu t'apercois qu'il ne peut pas y avoir de solutions.

Sinon le Perrin d'Algèbre, excellente base pour l'agrégation par ailleurs, présente une théorie associée à ce problème, ie étant donné k, y a -t-il des solutions entières x,y ? Il ne s'attarde pas à en calculer le nombre, mais je pense que ça doit être faisable.
Essentiellement, la preuve repose sur les propriétés de factorialité de l'anneau Z[i] (qui est même euclidien).

__
rvz

[invite4793db90]

Salut,

Mais est-ce aussi le cas pour des problèmes du type x²+y²=k ? J'ai l'impression que non, faute d'avoir trouver un exemple, mais je me trompe peut-être.

50=7²+1²=5²+5²
65=1²+8²=6²+7²
85=2²+9²=6²+7²
5525=7²+74²=19²+73²=22²+71²=25 ²+70²=41²+62²=50²+55²



Cordialement.

[invite234d9cdb]

Excellent
J'ai maintenant un exemple

La question : comment as-tu trouvé mon cher martini_bird les réponses du 5525 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Avec un petit programme ad hoc.

EDIT : En python :

from math import *

def isinteger(x):
	n=int(x)
	if (x-n==0):
		return 1
	else:
		return 0

def test(k, y):
	return isinteger(sqrt(k-y**2))

for n in range(10000):
	s=0
	k=n
#	print "test... k=", k
	for y in range(int(sqrt(k)+1)):
		if (test(k, y)==1):
			s+=1	
#			print y, int(sqrt(k-y**2)), k, "_________", y**2, k-y**2
	if (s>=7):
		print "trouve : k=", k, s

[invite234d9cdb]

Zut, je suis déçu Il n'y a pas d'autre façon de faire ?

[invite4793db90]

Zut, je suis déçu Il n'y a pas d'autre façon de faire ?

Certainement, mais à mon avis ça ne doit pas être trivial...

[invite234d9cdb]

Trivial ou pas, si quelqu'un pouvait me donner des pistes...

[invite914a6080]

Salut:
En deux mot, j'sais pas si ca a été dit, voire x²+y²=k comme une équation de cercle centrer en 0 aide à raisonner rapidement...
++

[invite4793db90]

Salut,

En deux mot, j'sais pas si ca a été dit, voire x²+y²=k comme une équation de cercle centrer en 0 aide à raisonner rapidement...

Oui, mais comme on cherche les points à coordonnées entières, ce n'est que de maigre avantage àmha...

Trivial ou pas, si quelqu'un pouvait me donner des pistes...

Je pense qu'un bon point de départ est d'écrire que le nombre de façons d'exprimer k comme somme de deux carrés vérifie :



A partir de là, on doit pouvoir utiliser les propriétés des fonctions theta...

Cordialement.

[invite35452583]

Bonjour,
décortiquons tout cela car la réponse à ta question est connue.
Prenons l'exemple donné par Martini-bird 65 (on retrouve plus facilement ces "petits")
Chez les entiers, on a
65=5x13=(-5)x(-13)=13x5=(-13)x(-5)
on reconnaît toujours la paire 5,13 mais il y a unicité à l'ordre près et multiplication par 1 ou -1 qui sont les seuls à avoir un inverse chez les entiers (on les appelle les inversibles). Les décompositions précédentes s'appellent, comme tu le sais sans doute, la décomposition en facteurs premiers.
Dans le problème de la somme de deux carrés, une idée brillante a été de se placer chez les nombres de la forme a+ib où a et b sont entiers, on les appelle les entiers de Gauss et on note leur ensemble Z[i].
En effet, x²+y²=(x+iy)(x-iy)=(x+iy)xson conjugué=N(x+iy)
Et on a de nouvelles décompositions en produit :
65=(8+i)(8-i)=(7+6i)(7-6i)
mais les nombres 8+i, 8-i, 7+6i, 7-6i ne sont pas premiers dans Z[i], par exemple 8+i=(2-i)(3+2i).
En fait nos nombres de tout à l'heure 5 et 13 ne sont plus premiers chez les entiers de Gauss :
5=(2+i)(2-i) 13=(3+2i)(3-2i)
Ainsi, 65=(2+i)(2-i)(3+2i)(3-2i)
et on ne peut pas décomposer plus (démo si 2+i=z1xz2 on a en prenant les modules (ou normes) 5=N(2+i)=N(z1)N(z2) et là on est retourné chez les entiers habituels, positifs en outre, donc N(z1)=1 ou N(z2)=1. Or il n'y a que 1,-1,i et -i tous inversibles qui ont une norme égales à 1, z2=2+i ou -2-i ou 2-i ou -2+i cela ne change pas la paire 2,1)
Pour avoir 65 sous la forme x²+y² il faut le mettre sous la forme (a+ib)xson conjugué.
Or, les briques élémentaires (nombres premiers de Gauss) sont désormais 2+i, 2-i, 3+2i, 3-2i.
Ceci donne exactement deux possibilités :
(2+i)(3+2i)xconjugué=(4+7i)xco njugué=4²+7²
(2+i)(3-2i)xconjugué=(8-i)xconjugué=8²+1²

La décomposition en plusieurs sommes de deux carrés peut donc être vue comme un réarrangement de briques élémentaires chez les entiers de Gauss
(p1Xp2xp3...)xconjugués de p1,p2,p3=(p1xconjugué de p2, p3;;x conjugués des précédents=....

k étant donné on peut obtenir assez facilement toutes les décompositions en somme de deux carrés d'entiers en le décomposant en facteurs premiers dans Z[i] (qui possède la propriété que tout nombre a une et une seule décomposition de ce type, c'est la propriété de factorialité évoquée par rvz, résultat admis mais la preuve doit e^tre présente sur le web voir sur ce site)

C'est bien beau mais quels sont les premiers de Z[i] ?
réponse :
1) les nombres de la forme a+ib avec a²+b² entier premier (chez les entiers usuels !)
2) les nombres entiers usuels premiers congru à 3 modulo 4 ex : 3,7,11,19,23...
Autrement dit, les premiers impaires usuels congrus à 1 modulo 4 se décomposent toujours en somme de deux carrés (résultat admis, c'est sans doute le plus délicat)
exemple :
5=N(2+i)
13=N(3+2i)
17=N(4+i)
29=N(5+2i)
...
Il en est de même de 2=N(1+i) mais dans le problème qui nous préoccupe il joue un rôle particulier car le conjugué de 1+i càd 1-i=(1+i)x(-i) et -i est inversible.
Conséquence, on a vuque 65=5x13 donne deux sommes de deux carrés mais 10=2x5 ?
10=2x5=[(1+i)(1-i)]x[(2+i)(2-i)]
A priori deux possibiltés :
(1+i)(2+i)xconj.=(1+3i)xconjug ué
(1+i)(2-i)xconj.=(3+i)xconj
il n'y en a qu'une!

Par contre, cela permet néanmoins de faire des décompositions du type :
50=2x5²=(1+i)(1-i)(2+i)²(2-i)² voilà pour les briques
50=(1+i)(2+i)²xconj=(-1+7i)xconj=1²+7²
50=(1+i)(2+i)(2-i)xconj=(5+5i)xconj=5²+5²
En fait il n'y en a pas plus que pour 25=3²+4²=5²+0² mais parfois on ne prend pas en compte la seconde du fait de la présence du zéro.
Les premiers tels que 3, 7, 11,19 ne sont pas intéressants car n'ouvrent pas de nouvelles décompositions. Si 3 divise a²+b² (a,b entiers) alors 3 divise a et b.

Revenons aux exemples
85=5x17=(2+i)(2-i)(4+i)(4-i)
85=(2+i)(4+i)xconj=(7+6i)xconj =7²+6²
85=(2+i)(4-i)xconj=(9+2i)xconj=9²+2²

5225=5²x13x17=(2+i)²(2-i)²(3+2i)(3-2i)(4+i)(4-i)
ce qui donne 6 possibilités :
(2+i)²x(3+2i)x(4+i)xconj
(2+i)²x(3+2i)x(4-i)xconj
(2+i)²x(3-2i)x(4+i)xconj
(2+i)²x(3-2i)x(4-i)xconj
(2+i)(2-i)x(3+2i)x(4+i)xconj
(2+i)(2-i)x(3+2i)x(4-i)xconj
et on retrouve (je n'ai pas fait le calcul) les 6 décompositions données par Martini-Bird
Et avec un peu de raisonnement et comparaison de la taille des nombres on arrive à montrer assez facilement que c'est le plus petit à 6 décompositions.

On peut alors construire facilement (pour les multiplications des nombres complexes vaut mieux prendre une machine)
Ainsi, 34116875=5^4x13²x17x29 s'écrit 30 fois comme somme de deux carrés. 5 possibilités pour 5^4, 3 pour 13², 2 pour 17 et 29 6x3x2x2=60 or une décomposition en prend 2 (conjugués) donc 60/2=30
Pour 4225=5²x13²=zxconj
5²->3 possibilités pour z : (2+i)²(2+i)(2-i),(2-i)²
13²->3 possibilités pour z (3+2i)²,(3+2i)(3-2i),(3-2i)²
Chaque produit de la forme zxconj en "utilise" deux sauf le cas symétrique (2+i)(2-i)(3+2i)(3-2i)=5x13=son propre conjugué.
donc (3x3-1)/2=4 sommes de deux carrés
plus le cas 4225=65²+0² qui est compté selon les goûts, l'humeur ou en fonction d'un problème annexe...

[yat]

La question : comment as-tu trouvé mon cher martini_bird les réponses du 5525 ?

Pour trouver des exemples sans avoir recours à la programmation, il y a très simple. Tu peux prendre deux triplets de Pythagore au hasard, multiplier chacun des deux triplets par le carré du plus grand élément de l'autre, et tu as un exemple qui marche.

Prenons par exemple (3,4,5) et (5,12,13). On a 3²+4²=5² et 5²+12²=13². Du coup 13²*(3²+4²)=13²*5² et 5²*(5²+12²)=5²*13². On a donc 39²+52²=65² et 25²+60²=65².

Je pense que ça rentre largement dans le cadre de ce qu'on peut appeler "trivial"

[inviteaf1870ed]

Mais je crois que l'on cherche x et y premiers entre eux ?

[yat]

Mais je crois que l'on cherche x et y premiers entre eux ?

Moi pas... en tout cas pas à en juger par le post initial, ni par les solutions proposées par martini_bird.

[invite914a6080]

Salut!
Suite à l'idée de considérer l'équation comme celle d'une ellipse tu dis :

Salut,

Oui, mais comme on cherche les points à coordonnées entières, ce n'est que de maigre avantage àmha...

Ca revient à ramener le probleme donné à :
un cercle dans R² intersecté avec N² admet au plus quatre élément
On le voit sur un dessin => ca doit se montrer quand meme bien en passant en coordonnées polaire...

++

[invite6b1e2c2e]

Truc précis et détaillé

Salut,

Merci pour ce message extrèmement précis et qui explique très clairement ce que je voulais dire.

Au passage, sur le caractère factoriel de l'anneau, la preuve est bien faite dans le Perrin, et ça vient du caractère euclidien dudit anneau. Pour cela, si z_1 et z_2 sont des entiers de Gauss, on prend r l'entier de Gauss le plus proche (en norme) de z_1/z_2, et on vérifie sans mal qu'alors le reste est de norme plus petite que z_2.

__
rvz, subjugué par les talents pédagogiques d'Homotopie

[invite35452583]

Ca revient à ramener le probleme donné à :
un cercle dans R² intersecté avec N² admet au plus quatre élément
On le voit sur un dessin => ca doit se montrer quand meme bien en passant en coordonnées polaire...

++

Salut,
en se contentant de reprendre un des exemples ci-dessus : le cercle de rayon en contient 6x2=12 points.

maintenat, pour n'importe quel entier naturel k on peut trouver un cercle de R² dont l'intersection avec N² contient exactement k points (il y en a une infinité)
k pair : convient avec p premier congru à 1 modulo 4.
k impair : convient avec p premier congru à 1 modulo 4.

[invite35452583]

Re,
je viens de rellire la question initiale qui demandait poutr 4849.
4849=13x373 13 et 373 premiers congrus à 1 modulo 4
13=3²+2² 373=18²+7²
(3+2i)(18+7i)=40+57i
(3+2i)(18-7i)=68+15i
on retrouve la 1ère relation 68²+15²=4849
et il y a égalemnt 4849=40²+57²
Et es sont les deux seules.

[scientico]

salut
1.trés interessant casse tete mathematique mais relativement simple par rapport a celui de Fermat ...x^3+y^3=k
2.ca tombe bien du fait qu'on discutait la demanstration de a^2+b^2=c^2 mais sans employer le cos ou le sinus soit juste
en geo Euclidienne plane..
3-je rejoins l'idee du collegue sur les congruences soit ..x^2=k-y^2 avec K=2p p dans N ou k=2*p+1 p dans N....
amicalement