Espaces compact et complètement régulier

[Seirios]

Bonsoir à tous,

J'aurais une petite question de topologie, c'est sans doute simple, mais je ne vois pas : j'aimerais montrer qu'un espace compact est complètement régulier. J'ai rencontré plusieurs fois cette propriété, mais elle n'est jamais justifiée, je dois vraiment passer à côté quelque chose...

Pourriez-vous me donner une petite indication ?

Merci d'avance,
Seirios
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[Seirios]

Finalement j'ai trouvé une preuve dans le Bourbaki : il suffit de montrer qu'un espace compact est uniformisable, pour cela, on montre que l'ensemble des voisinages de la diagonale de est une structure uniforme compatible avec la topologie de X. La démonstration détaillée n'est pas si triviale finalement...

[Tiky]

Une autre méthode consiste à montrer qu'un espace compact est normal et d'utiliser le lemme d'Urysohn mais celui-ci étant assez difficile à démontrer, c'est un peu contourner l'obstacle.

[Seirios]

Je connaissais pas ce résultat (le lemme d'Urysohn), donc j'en ai cherché la démonstration : connais-tu une autre démonstration que celle utilisant les nombres dyadiques ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Je voudrais revenir sur la démonstration du Bourbaki, il y a un point que je ne comprends pas : pour montrer que la structure uniforme formé par les voisinages de la diagonale de est compatible avec la topologie de X, il suffirait de montrer que la topologie associée est séparée, car alors cette topologie serait nécessairement moins fine que celle de X, ce qui permettrait de conclure.

Ce que je ne comprends pas, c'est le passage de "topologie associée séparée" à "topologie moins fine".

[Seirios]

J'ai peut-être trouvé un moyen de faire autrement. Si je note la structure uniforme formée par les voisinages de la diagonale dans (muni de la topologie produit). Alors l'ensemble des voisinages compacts de est une base de .
Il suffit dès lors de montrer que pour tout voisinage , il existe tel que . Or par compacité locale, il existe un compact , donc en posant , on a . On vérifie qu'on a bien , puisque est compact (il est fermé, puisque X est séparé, dans un compact) et de même (produit cartésien de compacts).
On a donc bien montré que la topologie induite par la structure uniforme est compatible avec la topologie de . Cela vous paraît-il correct ?

[Arkhnor]

Bonjour.

Je n'ai pas lu en détails ta démonstration (pas trop le temps en ce moment), mais pour répondre à ta question d'il y a un mois, si on a deux topologies T1 et T2 sur un même ensemble telles que T1 est plus fine que T2, T1 est séparée, et T2 est compacte, alors T1 = T2. (il suffit de considérer l'application identité, et d'appliquer le théorème bien connu qui dit qu'une bijection continue d'un espace compact dans un espace séparé est un homéo)

[Seirios]

J'avais bien compris ce point, ce qui me pose problème, c'est comment peut-on affirmer que les deux topologies sont comparables ?

[Seirios]

J'ai peut-être trouvé un moyen de faire autrement. Si je note la structure uniforme formée par les voisinages de la diagonale dans (muni de la topologie produit). Alors l'ensemble des voisinages compacts de est une base de .
Il suffit dès lors de montrer que pour tout voisinage , il existe tel que . Or par compacité locale, il existe un compact , donc en posant , on a . On vérifie qu'on a bien , puisque est compact (il est fermé, puisque X est séparé, dans un compact) et de même (produit cartésien de compacts).
On a donc bien montré que la topologie induite par la structure uniforme est compatible avec la topologie de . Cela vous paraît-il correct ?

C'est complètement faux, faîtes comme si je n'avais rien écrit, on a bien évidemment ...

[Arkhnor]

L'identité de muni de sa topologie compacte à valeurs dans muni de la topologie uniforme définie plus haut est continue.

En effet, soit , et un voisinage de pour la topologie uniforme. Il existe alors un voisinage ouvert (pour la topologie produit ) de la diagonale dans tel que .

Or, si on note l'application continue (pour les topologies et ) définie par pour tout , on a que est un ouvert de pour , et par conséquent est bien un voisinage de pour .

[Seirios]

C'est très clair, merci