fractions rationnelles

[invite371ae0af]

bonjour,

pouvez vous m'aider pour la démonstration suivante

montrer que toute fraction a une unique écriture irréductible dont le coefficient dominant du dénominateur est égal à 1

je ne vois pas du tout comment commencer
y-a-t-il une méthode particulière pour résoudre des questions de ce genre?


merci de votre aide
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[Tiky]

Bonjour,

Soit A un anneau euclidien commutatif.
Pour être plus précis, l'écriture unique d'une fraction rationnelle dans vérifie :
avec et B unitaire.

Commence par supposer deux fractions telle que :
avec et
C'est-à-dire par définition du corps des fractions :


Montre alors qu'il existe un élément tel que :
et

Suppose que et sont unitaires pour conclure sur la valeur de .

Edit : Je crois qu'il faut en fait supposer que A est un corps commutatif pour pouvoir conclure sur la valeur de .

[invite371ae0af]

merci de ton aide

[Tiky]

Au passage tu peux ignorer ma dernière remarque, le raisonnement est valable dans un anneau euclidien commutatif et même dans un anneau principal commutatif.

[A voir en vidéo sur Futura]