Question sur l'optimisation mathématique

[invite03e0db62]

Bonjour

Je cherche des informations sur la mise en œuvre de l'optimisation mathématique sous contrainte sous Matlab (ou Scilab c'est pareil)

* Représentation d'un ouvert A dans R^n

* Recherche des maximas et des minimas

* Représentation des réalisables

* Calcul de la jacobienne (matrice des dérivés premières de mémoire), j'ai du mal à ce niveau car une Jacobienne porte sur des contraintes, or je ne vois pas du tout comment on peut dériver une contrainte !

* Représentation de la condition de qualification non dégénérée (même pb)

* Calcul du Lagrangien, ça je vois à peu près mais le pb c'est que c'est une somme sur les contraintes retranchée de la fonction qu'on veut maximiser

* Calcul de la matrice hessienne

Par ailleurs je ne comprends pas très bien les conditions du 2nd ordre et du 1er ordre (à quoi ça sert je veux dire et comment on l'utilise).

La condition du 1er ordre a l'air de servir à trouver un point critique du Lagrangien (quelle utilité déjà)
La condition du 2nd ordre a l'air de servir à déduire extrema de la fonction
f dans l'ensemble des réalisables, or pourquoi ne pas chercher les points critiques et conclure tout de suite (je veux dire pourquoi ce cheminement)

Si quelqu'un avait de l'expérience sur ces notions plus de la mise en œuvre sous Matlab avec un exemple très concret ça m'intéresse bien.

Merci d'avance

Cordialement.
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[invite79d10163]

Je peux commencer à répondre sur certain points.

1) Les extremums d'une fonction sont des points critiques mais les points critiques ne sont pas toujours des extremums.

La condition sur le lagrangien est une utilisé comme intermédiaire pour trouver un extremum. La condition du second ordre sert à déterminer l'extremum.


Ensuite, pour ce qui concerne matlab, le plus simple est d'utiliser la toolbox d'optimisation si tu as la chance de l'avoir. Quel type de contraintes tu dois gérer ? linéaire ? égalité ? autres ? et à quel type d'optimisation t'intéresses tu ?

[invitec811222d]

Bonsoir,
La condition du 1 er ordre sur le lagragien sert à trouver les points critique de la fonction à minimiser sous les contraintes d'égalités imposées.
Pour éclaircir les choses considérons un ouvert non vide de , et deux fonctions , On cherche min/max sous la contrainte . Le théorème du multiplicateur de lagrange nous dit que si f admet un extremum en a dans U sous la contrainte g alors il existe un réel tel que , l’interprétation géométrique de ce résultat est que la ligne de niveau f(a) et la contrainte ont même espace tangent en a, ou que les vecteurs gradient de f et g en a sont colinéaire.
La condition du second ordre sert à apprécier la nature des points critiques (min,max,point selle).

Par ailleurs, "La condition du 2nd ordre a l'air de servir à déduire extrema de la fonction
f dans l'ensemble des réalisables, or pourquoi ne pas chercher les points critiques et conclure tout de suite (je veux dire pourquoi ce cheminement)" Dans certains cas il est possible de déduire directement la nature des points critiques, mais lorsque ce n'est pas possible il faut des hypothèses supplémentaire pour pouvoir apprécier la nature des points critiques