Extension de C

[invite52487760]

Bonjour,

Est ce qu'il existe une extension de qu'on note par exemple : telle que le polynome soit réductible dans ?

Merci d'avance.
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[invite39876]

Salut!
Je crois que ton polynome ne sera reductible dans aucune extension de C.

[invite52487760]

Salut!
Je crois que ton polynome ne sera reductible dans aucune extension de C.

Pourquoi ?

[invite307c5052]

Bonsoir, oui il existe une telle extension, on peut la construire facilement et rapidement si l'on n'exige pas que l extension soit algébrique! la méthode est générale pour un polynôme à n indéterminées mais je vais le faire directement dans le cas particulier que tu proposes en faisant un disjonction de cas pour éviter trop de technicité!:C est le corps des complexes. On pose K=C(Y) le corps des fractions rationnelles à coefficients dans C. soit Q(X) le polynôme de K[X] défini par : Q(X)=X²+Y²+1
on peut prouver que Q(X) est un polynôme irréductible de K[X] mais on va s'en passer!
1er cas: Q(X) est réductible dans K[X]
ton problème est résolu!
2ème cas:Q(X) est irréductible dans K[X]
on pose alors L=K[X]/ (Q(X)) l anneau quotient qui est alors un corps.
soit w la classe de X dans L alors on a en faisant au préalable une injection canonique de K dans L:
X²+Y²+1= (X-w)(X+w)

[A voir en vidéo sur Futura]