Corps de fermeture algébrique

[invite332de63a]

Voici une définition qui m'intéresse tout particulièrement, donc si je ne me trompe pas soit K un corps on appelle corps de fermeture algébrique de K un corps L tel que et tout polynôme de K admette une racine dans L.

L est il unique à isomorphisme de corps près? Du genre le plus petit pour la relation d'inclusion?

Mais surtout quel est le corps de cloture de ? Je pense donc que ce serait quelque chose du type sous partie de du quel on a retiré les transcendants réels et ceux "complexes" - j'entend par là ayant une de ses parties (réelle ou imaginaire) au moins transcendante. Existe-t-il un article sur ceci?
Merci par avance.
RoBeRTo MaLoNe
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[Seirios]

Bonjour,

Voici une définition qui m'intéresse tout particulièrement, donc si je ne me trompe pas soit K un corps on appelle corps de fermeture algébrique de K un corps L tel que et tout polynôme de K admette une racine dans L.

L est il unique à isomorphisme de corps près? Du genre le plus petit pour la relation d'inclusion?

Il me semble que l'on parle bien d'une clôture algébrique, je ne crois pas que la définition usuelle fasse intervenir une condition de minimalité. C'est d'ailleurs le cas ici (page 141).

Mais surtout quel est le corps de cloture de ? Je pense donc que ce serait quelque chose du type sous partie de du quel on a retiré les transcendants réels et ceux "complexes" - j'entend par là ayant une de ses parties (réelle ou imaginaire) au moins transcendante. Existe-t-il un article sur ceci?

est bien sûr une clôture algébrique de , mais l'ensemble des complexes algébriques sur est une clôture minimale pour l'inclusion. Elle est même de degré fini.

[Médiat]

Bonjour,

Voici une définition qui m'intéresse tout particulièrement, donc si je ne me trompe pas soit K un corps on appelle corps de fermeture algébrique de K un corps L tel que et tout polynôme de K admette une racine dans L.

L est il unique à isomorphisme de corps près?

Non, tout sur-corps d'un corps de fermeture algébrique de K est encore un corps de fermeture algébrique de K

Du genre le plus petit pour la relation d'inclusion?

En ajoutant cette condition, la réponse est oui, ce corps unique (à isomorphisme près), s'appelle la clôture algébrique de K.

Ce qui est troublant c'est que certains auteurs utilise le vocabulaire "une clôture algébrique" à la place de "une fermeture algébrique"

[Médiat]

Il me semble que l'on parle bien d'une clôture algébrique, je ne crois pas que la définition usuelle fasse intervenir une condition de minimalité. C'est d'ailleurs le cas ici (page 141).

Personnellement je condamne ce vocabulaire qui oblige à faire la différence entre une clôture algébrique et la clôture algébrique.

l'ensemble des complexes algébriques sur est une clôture minimale pour l'inclusion. Elle est même de degré fini.

Je ne pense pas que soit de dimension finie sur : par exemple la famille est indépendante il me semble.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Bonsoir,

En définitif la clôture algébrique c'est la plus petite fermeture algébrique pour l'inclusion à isomorphisme près ?

[Médiat]

Bonsoir

En définitif la clôture algébrique c'est la plus petite fermeture algébrique pour l'inclusion à isomorphisme près ?

Oui (la plus petite qui contient le corps de départ (c'est aussi l'intersection de toutes les fermetures))

[invite332de63a]

Merci Serios, c'est bel et bien le document que tu m'as mis en lien que j'ai aperçu plus tôt dans la journée. Je vais regarder si je trouve quelque chose sur .

Merci Médiat, il me semblait bien avoir entendu parlé de clôture algébrique.

@ Médiat, effectivement la famille de racine de premier à bel et bien l'air libre est infini. Existe t'il une description de plutôt simple ?

Et les clôtures pour les corps finis du type avec p premier?

[Médiat]

Il y a beaucoup de documents sur les clôtures algébriques des corps finis, en plus du document se Seirios, par exemple :
http://megamaths.perso.neuf.fr/ccof0001.pdf

[invite39876]

BonsoirOui (la plus petite qui contient le corps de départ (c'est aussi l'intersection de toutes les fermetures))

Bonjour,
Justement il me semble que ca n'a pas trop de sens (ca rejoint le probleme de "la" cloture algébrique et d'une cloture algébrique) de dire que c'est l'intersection de toutes les fermetures, sachant qu'elle ne sont pas a priori des sous corps d'un corp fixé.

[Médiat]

Bonsoir,

Mais justement toutes les fermetures algébriques ont des parties naturellement isomorphes (le mot intersection est peut-être un peu abusif, mais la clôture algébrique est bien incluse dans toutes les fermetures algébriques, modulo un isomorphisme)

[invite332de63a]

Sinon je pense que on peut se restreindre modulo si L est une fermeture algébrique de K, alors si l'on intersecte tous les fermetures de K incluses dans L alors on obtient la clôture de K.

[invite39876]

Naturellement dans quel sens? (je ne veux pas dire de bêtise, mais il me semble justement que la clôture algébrique n'est pas fonctorielle donc, pas d'isomorphisme naturel entre elles).
Parce qu'a part le corps de base je ne vois pas trop quelles parties peuvent être naturellement isomorphes?
Par exemple C(T) et C(racine de T), on peut voir C(racine T) comme une extension de degré 2, mais on peut aussi remarque que C(racine T) est isomorphe a C(T). Donc tout va dépendre du plongement que l'on se donnera ou pas, entre deux corps.
En fait je crois que l'on parle toujours de fermeture algébrique d'un corps dans un autre. Par exemple la fermeture algébrique d'un corps K dans une extension L (ce qui suppose d'avoir choisi un plongement de K dans L), est l'ensemble des éléments de L, algébriques sur K.

Une clôture algébrique est une extension algébrique et algébriquement close. Elles sont toutes isomorphes.

Apres je ne suis pas très sure de moi, j'avais discuté de ça avec une ami mathématicien qui m'avait présente la chose comme ça.

[invite39876]

Sinon je pense que on peut se restreindre modulo si L est une fermeture algébrique de K, alors si l'on intersecte tous les fermetures de K incluses dans L alors on obtient la clôture de K.

Oui, exactement, une fois qu'on s'est donné un corps algébriquement clos assez gros , alors toutes nos extension se plongent dans ce corps, et on a plus trop de probleme.

[Médiat]

Par exemple C(T) et C(racine de T), on peut voir C(racine T) comme une extension de degré 2, mais on peut aussi remarque que C(racine T) est isomorphe a C(T).

Je ne sais pas ce que vous appelez , mais et ne sont pas solutions des mêmes polynômes sur les corps de départ.

[invite39876]

Je ne sais pas ce que vous appelez , mais et ne sont pas solutions des mêmes polynômes sur les corps de départ.

Ce que j'appelle T, c'est l'indeterminée.
C(T) est le corps des fractions rationelles a une variable sur C.
C(racine T) est une extension de degré 2 de C(T), c'est C(T)[X]/X²-T
Et C(racine T) est bien isomorphe a C(T) (meme C-isomorphe)

[Médiat]

Si L et L' sont des extensions de K qui contiennent la clôture algébrique de K, peut-être que l'isomorphisme entre ces "deux" clôtures algébriques n'est pas unique, mais il en existe bien au moins un, non ?

[invite57a1e779]

Personnellement, j'ai toujours entendu parler d'une clôture algébrique et jamais de la clôture algébrique.

En particulier, il existe des clôtures algébriques de K qui ne contiennent pas K.

[invite332de63a]

@God's Breath, qu'elle définition donne tu à "clôture algébrique" car si c'est un corps qui contient toute racine de tout polynôme de K alors les polynômes X-a où a est dans K ont leur racine dans la clôture choisie donc bel et bien a.

[Médiat]

Personnellement, j'ai toujours entendu parler d'une clôture algébrique et jamais de la clôture algébrique.

En particulier, il existe des clôtures algébriques de K qui ne contiennent pas K.

Bonjour :

Théorème de Steinitz, 1910 : Tout corps admet une clôture algébrique ; deux clôtures algébriques sont isomorphes.

[invite986312212]

mais l'isomorphisme n'est pas canonique, c'est pourquoi on dit une et pas la.

ce serait amusant de construire une clôture algébrique de R en partant d'un autre polynôme que X^2+1.

[invite57a1e779]

@God's Breath, qu'elle définition donne tu à "clôture algébrique"

Le bon point de vue est celui de Bloupou dans le message #12 : une clôture algébrique du corps K est une extension algébrique et algébriquement close du corps K.

Rappel : une extension d'un corps K est un couple (L,f) constitué d'un corps L et d'un morphisme de corps f de K dans L.
Comme f est injectif, f(K) est un sous-corps de L isomorphe à K, mais cela peut très bien ne pas être K, même lorsque L contient K parce que f n'est pas nécessairement l'injection canonique.

[Médiat]

mais l'isomorphisme n'est pas canonique, c'est pourquoi on dit une et pas la.

Ce débat a déjà eu lieu ici, il me semble que ce vocabulaire traduit un point de vue "catégorie" (parfaitement acceptable), mais du point de vue "logicien" je ne vois pas comment parler de deux choses différentes quand aucune formule du langage (ni même un type) ne permet de les distinguer.

Une recherche Google sur "The algebraic closure" ramène des tonnes de pages.

[invite986312212]

peut-être que les mathématiques ne se réduisent pas à la logique

les constructions comme les structures produit ou quotient sont rattachées à un "problème universel" c'est-à-dire à la factorisation d'un morphisme. Mais le lien entre morphisme de corps et racines d'équations polynômiales n'est pas évident. Peut-être pourrait-on exprimer la construction d'une clôture algébrique comme solution d'un problème mettant en jeu des fonctions polynômiales, je ne sais pas.

[Médiat]

peut-être que les mathématiques ne se réduisent pas à la logique .

C'est bien pour cela que j'ai exprimé les deux visions en ayant pris soin de préciser à propos de catégorie : (parfaitement acceptable), afin d'éviter une nouvelle guerre de religion qui ne m'intéresse pas, visiblement, je n'ai pas réussi.

Je retourne faire des mathématiques !

[invite986312212]

eh mais j'avais inclus un smiley. Je suis quelqu'un de pacifique, les guerres, même de religion, ne m'intéressent pas.

[invite39876]

Si L et L' sont des extensions de K qui contiennent la clôture algébrique de K, peut-être que l'isomorphisme entre ces "deux" clôtures algébriques n'est pas unique, mais il en existe bien au moins un, non ?

Que deux clotures algébriques soient toujours isomorphes est certains.
Maintenant, concernant votre questions, si on se fixe une cloture algébrique de K, disons L, et que l'on prends deux extensions M et M' de L, alors elles n'ont aucune raison d'etre isomorphes.
Prendre K=R; L=C, M=C(T_1), M'=C(T_1,T_2)
Je ne suis pas sure que c'etait effectivement la question.

[Médiat]

Que deux clotures algébriques soient toujours isomorphes est certains.

C'est ce que je dis depuis le début.

Maintenant, concernant votre questions, si on se fixe une cloture algébrique de K, disons L, et que l'on prends deux extensions M et M' de L, alors elles n'ont aucune raison d'etre isomorphes.

J'ai beau me relire, je ne vois pas où j'ai bien pu dire que M et M' sont isomorphes !

[invite39876]

C'est ce que je dis depuis le début.

Et je n'ai jamais dit le contraire (des mon premier message).

J'ai beau me relire, je ne vois pas où j'ai bien pu dire que M et M' sont isomorphes !

Ben votre message n'etait pas clair (du moins pour moi)

Si L et L' sont des extensions de K qui contiennent la clôture algébrique de K, peut-être que l'isomorphisme entre ces "deux" clôtures algébriques n'est pas unique, mais il en existe bien au moins un, non ?

Vous parlez de "la" cloture algébrique, puis vous dites ensuite ces 2 clotures algébriques. Et a quoi servent L et L' dans votre question alors? Bref c'est sans doute un simple probleme de comprehension, mais je maintiens que dans votre question, L et L' ne sont pas forcement isomorphes.

[invite39876]

Ok, en fait, en relisant, je crois maintenant comprendre ce que vous vouliez dire dans ce message, c'est que la cloture algébrique de K "vue" dans L, et celle dans L' sont isomorphes. Là pas de souci (ca revient a dire que deux clotures algébriques sont toujours isomorphes, mais elle ne le sont pas naturellement).

[Médiat]

Annulé, suite au message précédent.