Corps de fermeture algébrique

[invite4ef352d8]

Ok.

une cloture algébrique d'un corps = une extension algébrique du corps qui est algébriquement close.

et on a le Théorème : tout corps admet une clôture algébrique (construire par l'axiome du choix) et si on dispose de deux cloture algébrique d'un même corps K, alors il existe un K-isomorphisme entre les deux (construit en utilisant l'axiome du choix aussi).


maintenant parler de "La clôture algébrique" est un abus de language, acceptable dans certaine situation, mais pas en toute généralité : les clotures algébrique sont juste isomorphe pas "égale" ou même "identique". Je sais que le débat a déjà eu lieu, mais je vais quand même tenter de donner une nouvelle explication, beaucoup plus concrète du genre de problème que ca peut poser :

Par exemple, si je me donne une clôture algébrique L de Q, et que je note L' l'ensemble des nombres algébrique de C (qui est une autre cloture algébrique de Q) je dispose d'un élément particulier de L' : (racine de 2) (qui est l'unique réel x>0 tel que x²=2), mais ce racine de 2 n'est pas un élèment de L ! tous ce que je sais c'est qu'il existe deux éléments de L (les deux racines de x²-2) qui ont les même "propriété" (en tous cas celle exprimable dans le langage de la théorie des corps) que racine de 2, mais je n'ai aucune raison de choisir l'un plutôt que l'autre.

et ce problème est complétement général : si je veut faire des calcule concret dans ma clôture algébrique, j'ai besoin (sinon on ne peut pas nommer ses éléments) de choisir une clôture algébrique, et ce choix n'est pas du tout anodin. par exemple, le fait de savoir choisir une clôture algébrique de Fp, pour p>2, est un encore un sujet de recherche actuelle.
-----

[invite4ef352d8]

du point de vue "logicien" je ne vois pas comment parler de deux choses différentes quand aucune formule du langage (ni même un type) ne permet de les distinguer.

tout simplement en utilisant des formule d'un autre langage ! parce que un objet 'concret' (un modèle) a toujours (enfin en général) plus de "structure" que ce que le langage permet d'exprimer (ne serais-ce que la liste de ses éléments).

par exemple : n'arrive tu vraiment pas à faire la différence entre "R²" et le sous espace de R^3 formé des éléments tel que (x+y+z)=0 ?

Ils sont isomorphe en tant qu'espace vectorielle, mais tu comprendra quand même que pour certain problème "concret" je peut avoir besoin de les distinguer, car il dispose tout deux de nombreuse structure supplémentaire distincts.

là ou la notion catégorique de "isomorphe a unique isomorphisme près" est pertinente, c'est que sous cette notion, toute structure du premier objet est naturellement transporté, de facon bien défini aux deuxième objets... et là pour le coup je ne connais vraiment aucun exemple ou il est pertinent de distinguer des objets qui sont isomorphes à unique isomorphismes près.

[Médiat]

tout simplement en utilisant des formule d'un autre langage !

De telle sorte qu'ils ne soient plus isomorphes, cela change considérablement le cadre dans lequel on travaille.

Encore une fois il s'agit de différents point de vue, et je ne juge ni l'un ni l'autre, mais du point de vue du logicien ce qui compte c'est que l'on peut dire d'un système, même avec un ensemble infini de formules, si rien de ce que je peux dire ne permet de différencier "deux" systèmes, c'est que c'est le "même".

[invite986312212]

à ce propos Conway, dans son livre sur les nombres surréels (On Numbers and Games) dit que puisqu'il veut construire les nombres de façon séquentielle et "naturelle", ou canonique, il ne peut construire le corps C, car rien ne permet de choisir de façon canonique entre i et -i.

[invite4ef352d8]

Là j'avoue ne pas comprendre le problème de conway.

rien n'empêche de poser C=R[X]/(1+X²) (et "i" = classe de X.)

en revanche on ne pas faire ce genre de chose (ou en tous cas beaucoup moins simplement) pour construire une clôture algébrique de Fp.

[invite986312212]

en fait ce qu'il dit c'est que son procédé ne permet pas de construire le nombre i. Il explique c'est parce que i ne peut pas être distingué de -i, mais je pense qu'en fait la méthode de construction de Conway ne fonctionne que tant qu'on reste dans un ordre total. C'est sans-doute à prendre comme une boutade.

[invitebe0cd90e]

Salut,

Je ne pense pas (désolé Médiat ) qu'insister sur la non unicité de l'isomorphisme entre deux clotures algébriques soit une lubie de catégoricien fanatique

A priori tout mathémticient appréciera la différence entre une construction qui est canonique et une construction qui ne l'est pas, et c'est bien de ça qu'il s'agit. Cette non-canonicité est précisement mesurée par le groupe de Galois de la cloture dont chacun conviendra qu'il s'agit d'un objet important.

Formulé autrement, le fait est que la cloture algébrique n'est pas solution d'un probleme universel. Dit autrement, quand on parle d'une extension L d'un corps K il y a un abus de langage. En réalité, l'objet qu'on considere est une paire (L,f) ou f est un morphisme . Vue comme de telles paires, deux clotures algébrques ne sont pas necessairement isomorphes pour la notion évidente d'isomorphisme. Tout ceci peut probablement se reformuler dans un langage purement logique, je présume

[Médiat]

Bonjour,

Je ne pense pas (désolé Médiat ) qu'insister sur la non unicité de l'isomorphisme entre deux clotures algébriques soit une lubie de catégoricien fanatique

J'avais écrit "point de vue "catégorie" (parfaitement acceptable)", le traduire en "lubie de catégoricien fanatique est un peu abusif, non ?

Je ne discuterais pas du point de vue catégoricien, mais de mon point de vue, l'existence de plusieurs isomorphismes entre deux structures veut surtout dire que chacune de ces structures possèdent des automorphismes, (elles manque de rigidité, ce qui, sans doute, l'empêche d'être solution d'un problème universel), c'est donc plus une caractéristique de "la classe d'isomorphie" que des liens entre deux structures. Bien sur on peut "rigidifier" la structure en enrichissant le langage, par exemple pour le corps des complexes, si on ajoute un symbole de constante pour chaque réel (pour une base de transcendance sur devrait suffire, mais au diable l'avarice), plus un symbole pour i, et le seul automorphisme dans le langage des corps enrichi de ces symbole est l'identité, et donc les isomorphismes seront uniques (ce qui ne veut pas dire constructibles (je pense à ))

[invite307c5052]

Bonsoir,
à BLOUPOU:
lorsque tu parles de corps algébriquement clos assez grand pour contenir toutes les extensions, tu fais référence je pense, uniquement aux extensions algébriques!car toutes les extensions transcendantes ne pourraient pas être contenues dans ce surcorps!
à part ce point de détail je suis tout à fait d'accord avec toi!