Produit tensoriel d'espaces vectoriels.

[invite39876]

Bonjour,
Je continue a essayer de comprendre la notion de produit tensoriel d'un point de vue purement mathématiques, et aujourd'hui je suis tombé sur une démonstration que je ne comprends pas.
Il est écrit "as tensor products is compatible with direct limits, (pour f une application de E dans T des espaces vectoriels, et F un espace vectoriel.

J'ai bien compris, je pense, ce qu'etait le coker (et j'en ai beaucoup appris sur le chien aussi a l'occasion, merci google). Je ne comprends pas pourquoi le coker(f tensoriel 1_F), c'est coker f tensoriel F (d'autant plus que j'ai cru voir que que coker f tensoriel g, n'est pas coker f tensoriel coker g.
Et je ne vois pas le rapport avec les direct limits non plus.
Qqun voit il comment demeler tout ca?
Merci.

Julia (qui ne sait plus si elle est vraiment physicienne).
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[invite39876]

En fait je viens de réaliser que dans tous les cas coker(f tensoriel 1_F) n'est pas égal a coker(f) tensoriel coker(1_F) vu que coker 1_F c'est et pas F, donc c'est cohérent avec le fait que coker(f tensoriel g) n'est pas coker f tensoriel coker g.

Donc je ne sais toujours pas montrer la formule, mais bon.

[invite4ef352d8]

Salut !


pour toute les propriété de ce genre, il faut revenir au propriété universelle :

X tenseur Y est défini par "pour tout U Hom(X tenseur Y, U ) = Bil(X.Y,U) (ie l'ensemble des application bilinéaire de x.Y dans U), c'est aussi égale à l'ensemble des applications de X dans l'espace vectorielle Hom(Y,U).

pour f: A->B coker f est défini par hom(coker f,U) = l'ensemble des applications u de B dans U tel que u°f=0.



pour montrer que deux objets sont isomorphe canoniquement, il suffit de montrer qu'ils sont solution d'une même propriété universelle.

[invite307c5052]

A Bloupou,
Bonsoir je pense que le lien entre produit tensoriel et "direct limit" peut signifier "exact à droite" en effet on peut montrer que le produit tensoriel est exact à droite!
soit f de A dans B, g de B dans C,une suite exacte avec g surjective! alors pour E espace vectoriel on a:
(1E)x f de ExA dans ExB et (1E)xg de ExB dans ExC,une suite exacte ,avec (1E)xg surjective! les " x " signifient produit tensoriel!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite307c5052]

de là on peut avoir l idée de ta démonstration sans avoir besoin de revenir à la définition d 'un produit tensoriel et du lourd bagage des formes bilinéaires! on va donc oublier la construction du produit tensoriel à partir des applications bilinéaires et utiliser simplement le fait que le produit tensoriel est exact à droite!
bien sûr nous aurons besoin de la caractérisation fonctorielle du coker!
( non ce n 'est pas l'os du chien du même nom comme tu l'as fait remarqué!!!)
normalement il faut faire des flèches que je ne sais pas faire sur ordi!
a) axiomes du coker!
1) on se donne coker f un espace vectoriel
2)on se donne t un morphisme de T dans coker f
3)on impose la contrainte tof = 0
maintenant on fait le miroir!!!
1)bis on se donne G un espace vectoriel
2)bis on se donne g un morphisme de T dans G
3)bis on impose la contrainte gof = 0
ALORS il existe un morphisme UNIQUE h de coker f dans G
tel que g = hot
de plus l 'objet coker f est "unique" à isomorphisme près ( on dit qu' il est solution d'un problème universel!)
on montre alors que l application t est toujours surjective!!
maintenant on tensorise tout! à droite! : par F pour tous les espaces vectoriels qui apparaissent! et par (1F) pour tous les morphismes qui apparaissent!
on obtient donc:le "x" signifie produit tensoriel!
1)une application f'= fx(1F) de E'=ExF dans T'= TxF
2) une application SURJECTIVE t'= t x(1F) de T'= TxF dans (coker f)xF
3) une application g'= gx(1F) de T'= TxF dans G'= GxF
4) une application h'= hx(1F) de(coker f)xF dans G'= GxF
maintenant on applique la définition du coker f'!!!
1) coker f' est un espace vectoriel
2)on a une application t" de T' dans coker f'
3)on impose la contrainte: t"o f' =0
une dernier tour du miroir!
1)bis G' est un espace vectoriel
2)bis g' est une application de T' dans G'
3)on a la contrainte g' o f' =0
ALORS il existe un morphisme h" UNIQUE de coker f' dans G'
tel que h"ot" = g'
par " unicité" du coker! on a:coker f'= (coker f) x F
soit coker ( fx(1F) ) = ( coker f ) x F
voilà! mais sans dessin ce n est pas évident!