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demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels



  1. #1
    invite77420056

    demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels


    ------

    bonjour à tous.

    soit E un K-espace vectoriel de dimension finie F et G deux sous espaces vectoriels de E on a alors

    dim (F + G) =dim F + dim G - dim ( F inter G )

    maintenant pour la demonstration on sait deja que F' est un supplementaire de F inter G dans F .que F'+G est inclus dans F + G,et que que F + G = F' + G.

    alors comme F inclus dans F' alors F' = F' inter F
    d'ou
    F' inter G est inclus dans F' inter ( F inter G ) donc F' inter G ={0}

    peut on dire alors que comme F' est inclus dans F et que
    F' = F' inter F
    alors F' inter G =F' inter ( F inter G )???


    merci par avance

    -----

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  3. #2
    taladris

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    Salut!

    alors comme F inclus dans F' alors F' = F' inter F
    Il doit y avoir une erreur. Sinon, on aurait
    Vu ce qui précède et ce qui suit, j'imagine que c'est une erreur d'étourderie.

    peut on dire alors que comme F' est inclus dans F et que
    F' = F' inter F
    alors F' inter G =F' inter ( F inter G )???
    Tu as montré à la ligne précédente que en utilisant le fait que (par supplémentarité).
    D'où l'égalité que tu cherches

    Cordialement,

    PS: cela serait bien de ne pas ouvrir 15 discussions sur le même sujet. Merci.

  4. #3
    invite77420056

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    en fait je vois pa pourquoi on a
    F' inter G est inclus dans F' inter ( F inter G )
    je vois pas ce que vient faire l'inclusion là dedans.

  5. #4
    ericcc

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    Ben F'inter(FinterG) est nul car F' est le supplémentaire de FinterG, et tu as déjà montré que F'interG est également nul. Ils sont donc égaux !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite77420056

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    ouais mais c'est la relation F' inter G inclus F' inter (F inter G ) que je ne comprend pas je ne vois pas pourquoi on met le symbole d'inclusion dans cette relation .

  8. #6
    ericcc

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    S'ils sont égaux, ils sont inclus l'un dans l'autre...

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  10. #7
    invite77420056

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    je suis d'accord avec toi mais on doit d'abord montrer l'inclusion avant de dire que F' inter G = {0}

  11. #8
    invite77420056

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    alors j'ai raison ou tort ?

  12. #9
    ericcc

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    Non tu as tort : F'inter G est nul car F'est le supplémentaire de FinterG dans F. Si un élément appartient à F' et à G, il est dans F (car F' est inclus dans F) et dans G; il est donc dans FinterG. Comme F' est le supplémentaire de FinterG dans F, cet élément est nécessairement nul.

  13. #10
    invite77420056

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    donc si j'ai bien compris quand tu dit que l'element est dans F inter G ca veux dire que F' inter G est inclus dans F inter G ,or comme F' inclus dans F et donc que F' = F' inter F alors

    F' inter G inclus dans F inter G <---> F' inter G inclus dans F' inter ( F inter G )

    est ce exact???

  14. #11
    invite77420056

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    je crois avoir compris cette fois ci

    on sais que F' inter G est inclus dans F inter G (d'apres ericcc)
    or F' inter ( F inter G)={0}
    d'ou F' inter G ={0} car F'=F' inter F parce que F' est inclus dans F
    d'ou F' inter G =F' inter ( F inter G)
    donc F' inter G est inclus dans F' inter (F inter G)


    mon raisonnement est il exact et ais je raison???


    merci par avance

  15. #12
    ericcc

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    Soit, mais comment en déduis tu l'égalité demandée sur les dimensions ?

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  17. #13
    invite77420056

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    je repred le raisonnement
    la somme F' + G est directe
    de F + G =F o+ G on deduit dim( F + G)=dim F' + dim G
    or dim F' = dim F - dim( F inter G)
    car comme F' est un supplementaire de F inter G dans F' et bien nous avons
    dim F' = dim F - dim ( F inter G ) car ya une proprieté ki di que deux sous espace vectoriels F et G de E (E etant de dimension finie) sont supplementaire ssi dim F + dim G = dim E

  18. #14
    invite77420056

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    jai oublier de rajouter que pour kils soient supplementraires il fo aussi que F inter G = {0}

  19. #15
    invite77420056

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    ah autre chose c 'est F+G=F'+G et non F + G = F + G c'etait un oubli de ma part dsl

  20. #16
    invite77420056

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    et d'apres la derniere egalité que j'ai demontré tu obtient

    dim( F+G)=dim F +dim G - dim (Finter G)

  21. #17
    invite77420056

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    dans l'avant dernier message que j'ai poster ma somme etait une somme directe pour F' + G

  22. #18
    ericcc

    Re : demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

    Ca m'a l'air correct. Il te reste à mettre cela au propre

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