demonstration sur les dimensions d'espaces vectoriels

[invite77420056]

bonjour à tous.

soit E un K-espace vectoriel de dimension finie F et G deux sous espaces vectoriels de E on a alors

dim (F + G) =dim F + dim G - dim ( F inter G )

maintenant pour la demonstration on sait deja que F' est un supplementaire de F inter G dans F .que F'+G est inclus dans F + G,et que que F + G = F' + G.

alors comme F inclus dans F' alors F' = F' inter F
d'ou
F' inter G est inclus dans F' inter ( F inter G ) donc F' inter G ={0}

peut on dire alors que comme F' est inclus dans F et que
F' = F' inter F
alors F' inter G =F' inter ( F inter G )???


merci par avance
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[taladris]

Salut!

alors comme F inclus dans F' alors F' = F' inter F

Il doit y avoir une erreur. Sinon, on aurait
Vu ce qui précède et ce qui suit, j'imagine que c'est une erreur d'étourderie.

peut on dire alors que comme F' est inclus dans F et que
F' = F' inter F
alors F' inter G =F' inter ( F inter G )???

Tu as montré à la ligne précédente que en utilisant le fait que (par supplémentarité).
D'où l'égalité que tu cherches

Cordialement,

PS: cela serait bien de ne pas ouvrir 15 discussions sur le même sujet. Merci.

[invite77420056]

en fait je vois pa pourquoi on a
F' inter G est inclus dans F' inter ( F inter G )
je vois pas ce que vient faire l'inclusion là dedans.

[ericcc]

Ben F'inter(FinterG) est nul car F' est le supplémentaire de FinterG, et tu as déjà montré que F'interG est également nul. Ils sont donc égaux !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite77420056]

ouais mais c'est la relation F' inter G inclus F' inter (F inter G ) que je ne comprend pas je ne vois pas pourquoi on met le symbole d'inclusion dans cette relation .

[ericcc]

S'ils sont égaux, ils sont inclus l'un dans l'autre...

[invite77420056]

je suis d'accord avec toi mais on doit d'abord montrer l'inclusion avant de dire que F' inter G = {0}

[invite77420056]

alors j'ai raison ou tort ?

[ericcc]

Non tu as tort : F'inter G est nul car F'est le supplémentaire de FinterG dans F. Si un élément appartient à F' et à G, il est dans F (car F' est inclus dans F) et dans G; il est donc dans FinterG. Comme F' est le supplémentaire de FinterG dans F, cet élément est nécessairement nul.

[invite77420056]

donc si j'ai bien compris quand tu dit que l'element est dans F inter G ca veux dire que F' inter G est inclus dans F inter G ,or comme F' inclus dans F et donc que F' = F' inter F alors

F' inter G inclus dans F inter G <---> F' inter G inclus dans F' inter ( F inter G )

est ce exact???

[invite77420056]

je crois avoir compris cette fois ci

on sais que F' inter G est inclus dans F inter G (d'apres ericcc)
or F' inter ( F inter G)={0}
d'ou F' inter G ={0} car F'=F' inter F parce que F' est inclus dans F
d'ou F' inter G =F' inter ( F inter G)
donc F' inter G est inclus dans F' inter (F inter G)


mon raisonnement est il exact et ais je raison???


merci par avance

[ericcc]

Soit, mais comment en déduis tu l'égalité demandée sur les dimensions ?

[invite77420056]

je repred le raisonnement
la somme F' + G est directe
de F + G =F o+ G on deduit dim( F + G)=dim F' + dim G
or dim F' = dim F - dim( F inter G)
car comme F' est un supplementaire de F inter G dans F' et bien nous avons
dim F' = dim F - dim ( F inter G ) car ya une proprieté ki di que deux sous espace vectoriels F et G de E (E etant de dimension finie) sont supplementaire ssi dim F + dim G = dim E

[invite77420056]

jai oublier de rajouter que pour kils soient supplementraires il fo aussi que F inter G = {0}

[invite77420056]

ah autre chose c 'est F+G=F'+G et non F + G = F + G c'etait un oubli de ma part dsl

[invite77420056]

et d'apres la derniere egalité que j'ai demontré tu obtient

dim( F+G)=dim F +dim G - dim (Finter G)

[invite77420056]

dans l'avant dernier message que j'ai poster ma somme etait une somme directe pour F' + G

[ericcc]

Ca m'a l'air correct. Il te reste à mettre cela au propre