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Démonstration avec sous espaces vectoriels



  1. #1
    Liloujanson

    Démonstration avec sous espaces vectoriels


    ------

    Bonjour
    si vous pouviez m'aider , je bloque complètement pour débuter une démonstration:
    on a E un espace vectoriel muni des lois + et .
    F1 et F2 deux sous espaces vectoriels de E
    on veut montrer que F1UF2 sous espace vectoriel de E équivaut à FICF2 ou F2CF1
    donc il faut faire dans les deux sens ( la première propositon implique la 2e et encuite la 2e implique la 1ere)
    mais après j'arrive pas ...
    merci d'avance pour votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    erff

    Re : Démonstration avec sous espaces vectoriels

    Salut

    Le pb est assez classique :

    Par l'absurde, supposons qu'on n'ait pas d'inclusion entre F1 et F2 :
    Soit x dans F1 tel que x n'est pas dans F2
    Soit y dans F2 tel que y n'est pas dans F1

    x et y sont dans F1UF2 donc x+y l'est aussi (car espace vectoriel) donc x+y est soit dans F1 soit dans F2 (soit dans les 2)

    Si il est dans F1 alors x+y-x=y est dans F1 (F1 est un ev) : absurde
    Si il est dans F2 alors x+y-y=x est dans F2 : absurde

  4. #3
    Liloujanson

    Re : Démonstration avec sous espaces vectoriels

    Merci beaucoup pour votre réponse
    Donc là vous m'avez aidé pour le sens FIUF2 sev cela implique que soit F1CF2 soit F2CF1
    Dans l'autre sens : on part de F1CF2 par exemple
    En gros pour montrer qu'un ensemble est sev il y a 4 critères:
    F1UF2 est inclut dans E , oui car F1CE et F2CF1
    F1UF2 différent de l'ensemble vide : or F1 sev donc non vide et F2 pareil donc F1UF2 non vide
    ensuite on prend (x,y) appartenant à F1UF2 et genre a appartenant à K
    comment montrer que x+y appartient à F1UF2
    et que ax appartient à F1UF2 ?
    merci d'avance

  5. #4
    erff

    Re : Démonstration avec sous espaces vectoriels

    Salut !

    Pas besoin de se casser la tête !!!

    En fait ce sens est très facile :

    - Si F1CF2 que vaut F1UF2 ?? (est ce que c'est un espace vectoriel ?)
    - Si F2CF1 que vaut F1UF2 ?? (est ce que c'est un espace vectoriel ?)

    Conclusion ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Liloujanson

    Re : Démonstration avec sous espaces vectoriels

    ah bah oui je suis pas très douée^^ si F1CF2 F1UF2 c'est F2 et si F2CF1 F1UF2 c'est F1 donc dans chaque cas un sous espace vectoriel !!
    merci et bonne journée

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