Sous espaces vectoriels et endomorphisme

[invite152d5683]

Bonsoir,
Je sèche sur une question dont voici l'énnoncé:
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
Soit F et G deux sev (sous espaces vectoriels) de E
Montrer:
telle que et
Quelqu'un aurait une piste?
Merci de votre aide.
-----

[inviteaf1870ed]

C'est le théorème du rang, mais présenté d'une autre façon

[invite35452583]

Indice : en utilisant le théorème des bases incomplètes on se simplifie grandement la vie.

[invite152d5683]

Bonsoir,
Tout d'abord, merci de votre aide.
ericcc: il me semble que le théorème du rang permet de démontrer la réciproque plutôt (ou du moins que la réciproque est le théorème du rang réécrit, mais pas l'implication dans ce sens).
homotopie: Merci, je jette un coup d'oeil au théorème de la base incomplète. Je cherche et je posterai ce que j'ai réussit à en tirer après.
Merci encore.
Bonne soirée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite152d5683]

Re,
Voila, j'ai aboutie sur ce raisonnement:

Si alors d'après l'hypothèse de l'énoncé et donc .
L'application convient (projecteur dans sur parallèlement à ).

Sinon si alors une base de est une famille libre de , on peut donc, d'apres le théorème de la base incomplète, la compléter par des vecteurs (ou ) pour obtenir une base de .
Donc
Alors l'application convient.

Ce raisonnement vous semble-t-il correct ?
Merci

(PS: Est-il normal que LaTeX, ici, écrit un mapsto comme un rightarrow et ne connait pas longmapsto ?)

[invite57a1e779]

Ce n'est pas correct, car il n'y a pas unicité de , contrairement à ce que tu affirmes.

Je note une copie de .
Un endomorphisme de est en fait une application linéaire de dans , est un sous-espace de , alors que est un sous-espace de .
Ceci pour te faire comprendre que doit te servir dans en tant qu'espace source de , alors que doit te servir dans en tant qu'espace but de .
Il n'est donc pas question que intervienne dans la définition de la base de dans laquelle tu vas définir .