Stabilité d'une équation différentielle

[invite634cd675]

Bonjour,

En physique (élec), quand on étudie la stabilité d'un régime linéaire d'amplificateur opérationnel, d'équation différentielle



(Selon v₊ et v_-, qui peuvent dépendre de v_s et de ses dérivées, l'ordre peut augmenter.)

on dit que le régime est stable quand les coefficients de l'équation différentielle homogène associée sont tous du même signe.
(Attention, cela ne suffit que jusqu'aux équations du second ordre.)

Je n'ai pas le souvenir de l'avoir démontré.
C'est là qu'interviennent les maths, d'où mon post ici et pas en physique...

Merci
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[invitec053041c]

Salut.

Tu as déjà étudié les équa diff dans le domaine de Laplace ?
Si c'est le cas, ton système est stable si les pôles de ta fonction de transfert ont une partie réelle strictement négative.

Si tu n'as pas étudié dans le domaine de Laplace, tu peux faire l'étude du 1er ordre puisl e second ordre:

1er ordre: y'+ay=0 -> y=exp(-ax) , si a<0 (donc les coeff 1 et a non de même signe), ton signal diverge, instabilité.

2nd ordre: y''+by'+cy=0, le polynôme caractéristique est X²+bX+c.

Alors si b et c sont positifs, les racines du polynômes ont une partie réelle négative.

Par exemple, si le polynôme a 2 racines complexes z et z*, tu as en identifiant:
zz*=|z|²=c >0 ok
-2 Re(z)=-2Re(z*)=b>0 donc la partie réelle est négative !
Si les racines sont réelles, tu vérifies que tes 2 racines sont négatives (produit positif, somme négative).

Maintenant, sais-tu pourquoi les racines du polynôme caractéristique doivent avoir une partie réelle négative pour être stable ?

[invite634cd675]

Tu as déjà étudié les équa diff dans le domaine de Laplace ?

Je l'ai vaguement abordé en SI en début de PCSI, mais depuis (5/2 PC), la SI est bien loin. Et on ne vois pas ça en maths dans ma filière. Dommage...



Pour le premier ordre, c'était OK, c'était plutôt le deuxième qui m'intriguait.

Maintenant, sais-tu pourquoi les racines du polynôme caractéristique doivent avoir une partie réelle négative pour être stable ?

Attends voir...
Une solution est de la forme:



et sont bornées et pour que le tout soit borné, il suffit que les parties réelles des racines soient négatives.

Cool!
Pour la suite je m'inspire de ton exposé (je m'occupe des cas que tu n'as pas abordés ).

Si b et c sont négatifs, les racines ne peuvent être que réelles.
On regarde comme tu dis le produit et la somme. Pas bon.

Si b>0 et c<0, les racines ne peuvent être que réelles (car, dans l'hypothèse de racines complexes z et z*, c=zz*>0, absurde)
Cas réel: le produit est négatif donc une racine est positive et l'autre négative. Pas bon.

Si b<0 et c>0
Cas complexe: -2Re(z)=b<0 donc Re(z) > 0. Pas bon.
Cas réel: la somme est positive. Pas bon.

Mais dans les trois cas, ne peut-on pas imaginer qu'une solution stable s'installe tout de même, avec un des deux lambda nul?

Il faudrait aussi traiter les cas avec b=0 ou c=0, mais je vois le principe.


Au fait, s'il n'y a qu'une unique racine (double et réelle)
b²=4c donc c>0 OK
r=-b/2 donc r<0 <=> b>0

[Flyingsquirrel]

Bonsoir

Quelle condition sur le second membre faut-il imposer pour pouvoir conclure sur la stabilité de la solution uniquement grâce aux signes des coefficients ?
On peut imposer que le second membre soit constant mais, même pour une équation différentielle du premier ordre, je n'arrive pas à trouver une contrainte moins forte. (un second membre borné à l'air de suffire mais je n'arrive pas à le montrer)

[A voir en vidéo sur Futura]