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Solution d'une équation différentielle



  1. #1
    Bleyblue

    Solution d'une équation différentielle


    ------

    Bonjour,

    J'essaye de résoudre :

    en posant y = x.z(x) on tombe facilement sur :





    et alors ici puis-je simplifier bêtement les deux x sous prétexte que de toute façon la valeur absolue ne changera rien à cause de la constante ?

    Donc :



    ?

    merci

    -----
    Dernière modification par Bleyblue ; 02/03/2006 à 18h39.

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  3. #2
    homotopie

    Re : Solution d'une équation différentielle

    x et |x| ont la gentillesse d'avoir le même carré, prendre d'abord le carré est une idée. Pour une solution donnée C est constant.

    Sinon,
    1) c'est z=x.y ? (perso, je n'arrive pas à aboutir) je dirais plutot z=x+y (pour lequel le calcul est en effet facile.
    2) pourquoi x se retrouve au dénominateur? ça fait intervenir inutilement des singularités.
    3) D'autres singularités inutiles sont les points pour lesquels 1-2y/x-y²/x²<0
    Vu la forme de l'équation différentielle initiale, il y a existence et unicité sauf en x+y=0 (les solutions y sont-elles prolongeables?)
    La résolution peut ne conserver que les points singuliers x+y=0.
    On obtient x²-2xy-y²=k, k quelconque (et non k² donc positif)

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Solution d'une équation différentielle

    Eh bien si on pose y = xz, y' = z + xz' donc:







    et c'est terminé (la primitive de gauche étant immédiate) ...

    merci

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Solution d'une équation différentielle

    Sinon que veux tu dire par singularité ?

    Si je procède comme dans mon dernier message je tombe bien sur la solution donnée dans mon premier message et donc :




    Et c'est vrai que c'est intelligent d'éléver au carré ici :



    mais on a bien C² (et don k dans ton cas) > 0 non ? Pourtant il est clair que si je prends k < 0 et que je dérive les deux membres de cette relation par rapport à x cela vérifie l'équadiff de départ donc c'est louche ...

    merci

  6. #5
    homotopie

    Re : Solution d'une équation différentielle

    Ta méthode fonctionne mais est :
    1) plus compliqué
    2) introduit des singularités inutiles (càd, ici, des points (x,y) pour lesquels ce n'est pas défini). Une résolution bien menée par ta méthode nécessite de vérifier ce qui se passe en x=0 (présent dans un ln) et 1-2z-z²=0 (au dénominateur) ce qui alourdit inutilement mais c'est un détail.

    Le problème de k² vient de ce que de la même manière que tu as ln |x| à droite tu dois avoir (1/2) ln|1-2z-z²| à gauche. Cette dernière valeur absolue aurait du se retrouver dans la racine

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bleyblue

    Re : Solution d'une équation différentielle

    Citation Envoyé par homotopie
    Ta méthode fonctionne mais est :
    1) plus compliqué
    Je ne savais pas moi c'est la seule méthode que je connaissais pour résoudre les équations différentielles à fonction homogène, mais s'il est possible de la résoudre en posant z = x + y ça doit être nettement plus simple.

    Citation Envoyé par homotopie
    dois avoir (1/2) ln|1-2z-z²| à gauche. Cette dernière valeur absolue aurait du se retrouver dans la racine
    Ahhhh oui effectivement, c'est une erreur que je fais souvent ça.

    Bon eh bien c'est règlé alors, mais je vais essayer d'adopter ta méthode si elle est plus simple ...

    merci

  9. Publicité
  10. #7
    Bleyblue

    Re : Solution d'une équation différentielle

    Effectivement en posant z = x + y les calculs sont plus simples

    Mais cela fonctionne-il pour toutes les équations différentielles à fonction homogène ?

    Si je prends (par exemple) :



    cela fonctionne toujours ?
    Je ne pense pas tandis que ma méthode est toujours valable

    merci

  11. #8
    homotopie

    Re : Solution d'une équation différentielle

    Tu as raison pour la généralité concernant les fonctions homogènes.
    Je comprends mieux d'où vient le z=x.y (j'avais oublié cette méthode pourtant classique)

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Solution d'une équation différentielle

    Oui.

    Quoique ça reste indispensable de poser y = (x + z) dans certains cas je pense, exemple :



    Mais bon cette équation différentielle ne correspond pas non plus à la définition d'une équadiff. à fonction homogène ...

    merci

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