complétude de F(A,F)

[invite57b58929]

Bonjour à toute la communauté !

j'ai une question qui me tracasse et je n'ai pas trouvé la réponse sur le net . Il me semble en avoir fait une démonstration, mais ça m'étonne que ce résultat ne soit pas utilisé dans le cours (cf ci-dessous), donc il doit y avoir une vanne que je n'ai pas vu...

soit un evn,

est-ce que :



où désigne l'ensemble des fonctions de A dans F.

En fait, dans mon cours de spé, pour montrer que la convergence normale d'une série de fonctions entraine la convergence uniforme de cette série, on repasse par des convergence ponctuelles (on fait apparaitre des "f(x)"). Je me demandais s'il n'était pas possible de raisonner fonctionnellement, puisqu'en fait, ce théorème revient à dire : dans , une série absolument convergente est convergente. Ceci étant toujours vrai dans un Banach, ça m'arrangerai que ce soit le cas ^^ .
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[invite2c3ff3cc]

y est-il vraiment toujours une norme ?

(prendre A=F=IR par exemple).

[invite57a1e779]

Bonjour à toute la communauté !

j'ai une question qui me tracasse et je n'ai pas trouvé la réponse sur le net . Il me semble en avoir fait une démonstration, mais ça m'étonne que ce résultat ne soit pas utilisé dans le cours (cf ci-dessous), donc il doit y avoir une vanne que je n'ai pas vu...

soit un evn,

est-ce que :



où désigne l'ensemble des fonctions de A dans F.

En fait, dans mon cours de spé, pour montrer que la convergence normale d'une série de fonctions entraine la convergence uniforme de cette série, on repasse par des convergence ponctuelles (on fait apparaitre des "f(x)"). Je me demandais s'il n'était pas possible de raisonner fonctionnellement, puisqu'en fait, ce théorème revient à dire : dans , une série absolument convergente est convergente. Ceci étant toujours vrai dans un Banach, ça m'arrangerai que ce soit le cas ^^ .

, muni de la structure uniforme de la convergence uniforme définie par la norme de est complet dès que est complet, mais cela nous entraîne bien loin de ton problème.

Toutefois, la convergence normale ne peut être définie que dans le sous-espace des applications bornées de dans , sur lequel la structure uniforme de la convergence uniforme provient bien d'une norme, et qui est complet dès que l'est.

[invite57b58929]

oui, certes j'ai fait un petit dérapage...

mais bon, on se place alors dans , l'ensemble des fonctions bornées de A dans F, le problème est le même

[edit] je répondait au 2ème message, on s'est croisé ! [/edit]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57b58929]

bon, je ne suis pas sur d'avoir compris, alors je vais tenter de préciser mon flou :

ce que tu tentes de me dire, c'est qu'il existe une norme (ou autre chose ? "structure uniforme") de , avec laquelle cet espace est complet ?

pour en revenir à , c'est alors aussi le cas, mais cette "norme" pour lequel il est complet n'est pas la norme infinie ? Ainsi, mon implication du premier message est fausse, c'est bien ça ?

[invite57a1e779]

bon, je ne suis pas sur d'avoir compris, alors je vais tenter de préciser mon flou :

ce que tu tentes de me dire, c'est qu'il existe une norme (ou autre chose ? "structure uniforme") de , avec laquelle cet espace est complet ?

Oui, c'est cela, sur l'espace de toutes les applications (non nécessairement bornées), on ne peut pas définir la convergence uniforme par une norme. On remplace donc cela par ce que l'on appelle une structure uniforme, qui permet de définir les suites de Cauchy, à laquelle est associée une topologie compatible, qui permet de définir les suites convergentes, de façon à conserver la notion d'espace complet.

pour en revenir à , c'est alors aussi le cas, mais cette "norme" pour lequel il est complet n'est pas la norme infinie ? Ainsi, mon implication du premier message est fausse, c'est bien ça ?

L'espace vectoriel est normé par , et la convergence dans pour cette norme est la convergence uniforme.
Dès que est complet, il en est de même de , et le fait qu'une série normalement convergente est uniformément convergente n'est en effet rien d'autre que le théorème de convergence des séries absolument convergentes dans un Banach.

[invite57b58929]

oki !

je me coucherai donc moins bête ce soir, je suis content d'avoir eu une réponse aussi rapidement, je m'y attendais pas ! (et je vais aller faire un petit tour sur le net pour me renseigner sur cette fameuse structure uniforme)

merci encore,

Boris