La complétude est-elle une notion topologique?

[invite769a1844]

Bonsoir,

j'ai un souci au niveau de cet exercice:

Se peut-il que deux espaces métriques soient homéomorphes, et que l'un soit complet et l'autre non complet.

En td le prof nous as dit que non car il y a correspondance bijective entre les suites de Cauchy et par la continuité de et ,
si une suite de Cauchy converge, la suite de Cauchy "image" converge, et réciproquement.

Il me semble qu'il y a quelque chose qui cloche dans son raisonnement je ne vois pas quoi.

On a comme contre-exemple IR qui est complet et homéomorphe à ]-1,1[ qui est non complet (car non fermé dans l'espace complet IR).

Merci pour quelques éclaircissements.
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[invite2c3ff3cc]

Se peut-il que deux espaces métriques soient homéomorphes, et que l'un soit complet et l'autre non complet.

C'est parfaitement possible et ton exemple le prouve d'ailleurs.

Je comprends pas bien ce que ton prof de td a dit mais il n'y a aucune raison que l'image d'une suite de Cauchy par un fonction continue soit une suite de Cauchy.

[invitedf667161]

Par contre il me semble que la continuité uniforme fait passer les suites de Cauchy.

[invite769a1844]

Par contre il me semble que la continuité uniforme fait passer les suites de Cauchy.

oui ça je suis d'accord.

Par contre, il y a une autre bizarrerie que le prof nous as sorti et je trouve pas du tout pareil.

On considère les deux espaces métriques et avec .

Il nous dit que la seconde distance donne une topologie moins fine que la valeur absolue (alors que je trouve que les deux topologie coincident),

et du coup ces deux espaces ne sont pas homéomorphes (alors que j'aurai tendance à dire que si vu que c'est le même espace).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c3ff3cc]

je trouve que les deux topologie coincident

Et tu as raison (si coïncident = sont équivalentes et N=N*) ! Raconte vraiment nawak ton prof .....
D'ailleurs ils sont homéomorphes mais il y en a un des deux qui n'est pas complet !

si vu que c'est le même espace

Attention quand même, c'est pas parce que c'est le même espace (abstraction faite des topologies) qu'ils sont homéomorphes.

[invite769a1844]

Attention quand même, c'est pas parce que c'est le même espace (abstraction faite des topologies) qu'ils sont homéomorphes.

Je ne comprends pas ta remarque

Un espace est toujours homéomorphe à lui même.
La "relation" être homéomorphe à est une sorte de "relation d'équivalence", non?

oui le prof est apparu à une séance de td à la place du prof habituel, c'est la première fois que j'ai été aussi largué à un td de topo.

[invite2c3ff3cc]

Un espace est toujours homéomorphe à lui même.

Oui bien sûr si tu prends la même topologie "des deux côtés" (ou des topos équivalentes).

Sinon c'est faux (bon, dès que |X| > 1). Prends X quelconque avec la topo discrète d'un côté et grossière de l'autre.

(mais je suis sûr qu'on est d'accord et qu'on s'est mal compris ici)

[invite769a1844]

Oui bien sûr si tu prends la même topologie "des deux côtés" (ou des topos équivalentes).

Sinon c'est faux (bon, dès que |X| > 1). Prends X quelconque avec la topo discrète d'un côté et grossière de l'autre.

(mais je suis sûr qu'on est d'accord et qu'on s'est mal compris ici)

oui d'accord, tu veux dire si on a un ensemble et qu'on considère dessus deux topologies et .

[invite2c3ff3cc]

Oui, exactement

[invite769a1844]

Voilà une question où j'ai un peu de mal:

La suite est-elle une suite de Cauchy dans ? Est-elle convergente?

Je ferais comme ça mais je suis pas sûr:

Dans muni de sa topologie usuelle, converge et a pour limite 0, donc est une suite de Cauchy

ie pour tout , il existe tel que



Donc est une suite de Cauchy dans

[invite2c3ff3cc]

Ou directement :

Soit eps > 0 et N0 > 1/2*eps

Alors pour m,n > N0, |1/m-1/n| < 1/m+1/n < 2/N0 < eps

[invite769a1844]

Ou directement :

Soit eps > 0 et N0 > 1/2*eps

Alors pour m,n > N0, |1/m-1/n| < 1/m+1/n < 2/N0 < eps

ah oui effectivement, c'est le genre de raisonnement plus élémentaire que je recherchais,

merci ThSQ