Structure algébrique

[invite48b7a4f0]

Bonjour à tous :
Soit ( Z , + )
Soit H les sous groupes non nul de ( Z , + )
Soit Hp l'ensemble des elements strictement positif de H
Soit a le plus petit élément de Hp
Montrons que H = a Z
(avec Z l'ensemble des entiers naturel positif ou négatif

Mon essai de résolution
a appartient à a N* et c'est le plus petit élément de H inter N*
Donc pour tout n appartenant à Z, na appartient à H
Donc aZ inclus dans H...
Et pour montrer l'autre inclusion je sèche vraiment completement...
Et je suis même pas sûr de pouvoir dire :
" Donc pour tout n appartenant à Z, na appartient à H "

SOS...
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[invite769a1844]

Bonjour à tous :
Soit ( Z , + )
Soit H les sous groupes non nul de ( Z , + )
Soit Hp l'ensemble des elements strictement positif de H
Soit a le plus petit élément de Hp
Montrons que H = a Z
(avec Z l'ensemble des entiers naturel positif ou négatif

Mon essai de résolution
a appartient à a N* et c'est le plus petit élément de H inter N*
Donc pour tout n appartenant à Z, na appartient à H
Donc aZ inclus dans H...
Et pour montrer l'autre inclusion je sèche vraiment completement...
Et je suis même pas sûr de pouvoir dire :
" Donc pour tout n appartenant à Z, na appartient à H "

SOS...

Salut,

prends un élément de x de H, et divise le par a, ensuite montre que le reste est forcément nul.

[invitebe0cd90e]

Et je suis même pas sûr de pouvoir dire :
" Donc pour tout n appartenant à Z, na appartient à H "
SOS...

Tu le peux, puisque (avec n positif)
- na=a+a+a...+a n fois par definition
- H est un sous groupe, donc stable par addition, donc na appartient a H
- De maniere a peu pres evidente, une somme d'entiers positifs est positive, donc na appartient à Hp.

Pour n negatif, tu refais ca avec -n, puis tu utilises le fait que si (-na) appartient à Hp, alors na appartient a H.

Pour l'autre inclusion, je proposerais une preuve par l'absurde. Suppose qu'il existe un element de Hp qui n'est pas de la forme na, et essaie de construire un element de Hp plus petit que a -> contradiction.

Ca revient un peu a faire ce que propose rhomuald...