Algèbre de Lie.

[invite39876]

Bonjour
Je me pose une question sur les algèbres de lie (des groupes de Lie, linéaires disons). En fait j'ai toujours utilise la carracterisation suivante d'une algèbre de lie, X est dedans ssi pour tout reel t, exp(tX) est dans le groupe.
Mais il me semble en fait qu'on peut se contenter de exp(X) dans le groupe non?

D'autre part, je me suis apercu qu'en physique on utilisait souvent que l'exponentielle etait surjective de l'algèbre dans le groupe. J'ai voulu démontrer ca, pour voir si je comprenais bien pourquoi, mais je n'y arrive pas. Avez vous une démonstration de ce fait.
Merci!!
Julia.
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[invite39876]

Personne n'a d'idées?

[invitebe0cd90e]

Salut,

Deja je ne vois pas bien ce que tu entends par "caracteriser une algebre de Lie". Pour que exp(X) aie un sens il faut deja que X soit "dans quelque chose" qui fat que tu as le droit d'appliquer exp. Si tu parles de groupes de Lie matriciel, alors oui il suffit que exp(X) soit dans le groupe me semble t il.

Pour ce qui est de la surjectivité, c'est vrai seulement si le groupe d'arrivée est simplement connexe si ma mémoire est bonne. En tous cas ca n'est pas vrai tout le temps, c'est d'ailleurs ce qui fait que des groupes de Lie différents peuvent partager la même algèbre de Lie.

[Amanuensis]

Pour ce qui est de la surjectivité, c'est vrai seulement si le groupe d'arrivée est simplement connexe

Connexe tout court, plutôt, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Après recherches, il se révèle que l'exponentielle n'est pas nécessairement surjective même pour un groupe connexe de dimension finie. SL2(R) est donné comme contre-exemple.

[invite39876]

Salut,

Deja je ne vois pas bien ce que tu entends par "caracteriser une algebre de Lie". Pour que exp(X) aie un sens il faut deja que X soit "dans quelque chose" qui fat que tu as le droit d'appliquer exp. Si tu parles de groupes de Lie matriciel, alors oui il suffit que exp(X) soit dans le groupe me semble t il.

Pour ce qui est de la surjectivité, c'est vrai seulement si le groupe d'arrivée est simplement connexe si ma mémoire est bonne. En tous cas ca n'est pas vrai tout le temps, c'est d'ailleurs ce qui fait que des groupes de Lie différents peuvent partager la même algèbre de Lie.

Oui un groupe de Lie linéaire bien sur!
Mais j'arrive toujours pas a le prouver, et je vois pas a quoi sert alors la carracterisation par exp(tX), d'autant plus que j'ai trouvé qu'il s'agit d'une condition necessaire et suffisante, donc si exp(X) est dans le groupe, alors exp(tX) y est aussi?

[invite39876]

Après recherches, il se révèle que l'exponentielle n'est pas nécessairement surjective même pour un groupe connexe de dimension finie. SL2(R) est donné comme contre-exemple.

Bonjour,
Comment trouver une matrice de SL(2) qui ne soit pas dans l'image de l'exponentielle dans ce cas?

[Amanuensis]

Bonjour,
Comment trouver une matrice de SL(2) qui ne soit pas dans l'image de l'exponentielle dans ce cas?

L'algèbre de Lie est l'ensemble des matrices de trace nulle



Faudrait arriver à montrer que l'ensemble des exponentielles de ces matrices n'atteint pas toutes les matrices de déterminant 1.

J'imagine qu'on ne peut pas atteindre l'inversion, mais je ne sais pas le montrer.

[Amanuensis]

Sauf erreur, la démo est assez simple.

Une matrice A de trace nulle et de déterminant -1 a pour carré l'identité. On peut ramener toute matrice de trace nulle à une telle matrice si le déterminant est non nul en multipliant par moins l'inverse du déterminant.

On a alors dont la trace est 2cosh(t), supérieure ou égale à 2.

Si le déterminant est nul, on a A²=0, et l'exponentielle vaut I+tA, de trace 2.

On ne peut donc pas atteindre les matrices de trace strictement inférieure à 2.

[Amanuensis]

Me suis trompé dans la démo, manque une partie.

On peut se ramener soit au déterminant 1, soit au déterminant -1, soit au déterminant 0. Le message précédent ne traite que deux des cas.

Pour l'autre, on a dont la trace est 2cos(t), comprise entre -2 et 2.

On ne peut donc pas atteindre les matrices de trace strictement inférieure à -2. Qualitativement, c'est pareil, mais cette borne là doit être la bonne

[invite307c5052]

non tu ne peux pas te contenter de la seule condition exp(X) € G!!!
cela résulte du fait que exp n est pas en général injective! donc on ne parle pas pour l instant de surjectivité! ce sera pour la 2ème partie de ta question!
on va travailler dans le corps C car les contre exemples seront plus simples à exhiber!
on considère le groupe de Lie SL(n,C)
son algèbre de Lie est sl(n,C) formée des matrices de trace nulle! soit k€Z* un entier relatif non nul!
posons X=ik2(pi)*In où In est la matrice identité! on a tr(X)=nik2(pi) donc tr(X) est non nulle donc X n appartient pas à l algèbre de Lie sl(n,C) ! et pourtant exp(X)= [exp(ik2(pi))]*In = In € G!!!
plus généralement si X€L et si exp(X) =exp(Y) on n'a pas en général Y€L!!!