Formule qui donne tous les nombres premiers (le retour)

[invite2b14cd41]

Bonjour/soir,
Comment prouver que : donne tous les nombres premiers? (lorsque n décrit )

De même pour:
(et cette fois si elle est injective en plus!)

Source: http://www.cnrs.fr/Cnrspresse/math2000/pdf/Maths10.pdf
Mais je ne trouve aucun article avec une démo.

Merci par avance.
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, à mon avis vu que ces formules sont toutes jeunes, moins de 20 ans, si tu trouves un article qui te démontre la propriété de ces fonctions alors je doute que tu comprennes plus loin que la deuxième ligne... et moi par ailleurs.

[invite2b14cd41]

C'est dommage. Surtout que je n'arrive même pas à voir pourquoi la première est toujours entière

[RoBeRTo-BeNDeR]

Ben utiliser des parties entières déjà corse énormément la compréhension des résultats, en plus en faire une somme puis un inverse etc... pas facile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b14cd41]

Je parlais de la première formule, et il n'y a pas de partie entière.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Et les crochets ne sont là que pour faire joli ...? D'ailleurs il n'y a pas un erreur? (n+2)/p-(n+1)/p me semble simplifiable...

[invite2b14cd41]

Oui, je parle de la première!

Je ne comprends d'ailleurs pas pourquoi ils n'ont pas retrancher les 2 fractions, pour avoir juste du 1/p au dénominateur.

[erik]

Et si ! Dans la première formule (dans la deuxième aussi) les crochets indiquent bien la partie entière (et il t'en manque) , la formule exacte est :



L'explication (simplissime) peut se trouver ici : http://www.lifl.fr/~wegrzyno/FormulP...Premiers5.html

[invite2b14cd41]

Et si ! Dans la première formule les crochets indiquent bien la partie entière (et il t'en manque) , la formule exacte est :



L'explication (simplissime) peut se trouver ici : http://www.lifl.fr/~wegrzyno/FormulP...Premiers5.html

Merci bien

[RoBeRTo-BeNDeR]

En fait oui c'est tout bête, j'en avait même faite une moi même! Une pour la fonction pi qui compte les nombres premiers sous forme de somme mais très peu intéressante car au pire équivalente en niveau de calcul à un algorithme simple. Ce juste en remarquant que E(E(m/n)n/m) est égal à 1 ou 0 suivant si n divise m ou pas

[Seirios]

Bonsoir,

Grossièrement, je dirais : la somme du dénominateur compte les nombres premiers plus petits que m (théorème de Wilson), et on remarque que la somme totale contient des termes qui s'annulent pour m suffisamment grand donc on a pas besoin de s'inquiéter de la borne, il suffit de la choisir suffisament grande. La somme pourrait donc se réécrire comme . Or les termes de cette somme sont identiques tant que m n'est pas devenu suffisament grand pour atteindre un nouveau nombre premier, donc on doit avoir quelque chose comme . On remarque que vaut 0 si k+1 est plus grand que n, et 1 sinon. Donc on se retrouve finalement avec une somme télescopique, et on trouve finalement .

Ce n'est pas tout à fait le résultat recherché, mais l'idée doit y être, il faut ensuite écrire tout ça proprement (il doit être plus facile de partir de la fin du raisonnement).

[invite2b14cd41]

Merci, en effet, il y a certainement du Wilson. Comment justifiez-vous la borne 2^n ?

[Seirios]

La borne b(n) doit être telle qu'il existe au moins n nombres premiers inférieurs à n. Or d'après le postulat de Bertrand, pour tout n>2, il existe au moins un nombre premier compris strictement entre n et 2n. Par récurrence, on montre donc que b(n)=2ⁿ convient.

[invite2b14cd41]

La borne b(n) doit être telle qu'il existe au moins n nombres premiers inférieurs à n. Or d'après le postulat de Bertrand, pour tout n>2, il existe au moins un nombre premier compris strictement entre n et 2n. Par récurrence, on montre donc que b(n)=2ⁿ convient.

Ah oui, je n'y avais pas pensé... (la preuve d'Erdos de ce "postulat" est d'ailleurs très élégante).