Système d'équations non-linéaire - Loi entrée-sortie d'un mécanime.

[Ekinox]

Bonjour,

J'aimerais trouver la loi entrée-sortie d'un mécanisme faisant apparaître deux boucles fermées (le mécanisme en question est un mécanisme de Chebyshev 6 barres reversible permettant de transformer une rotation alternée type pendule en une rotation dans un seul sens).

Voici quelques vidéos pour mieux comprendre le mécanisme étudié :
https://www.youtube.com/watch?v=0TeNsu7HvjU
https://en.tcheb.ru/bicycle/

Après avoir effectué des fermetures géométriques, j'obtiens le système d'équations suivant.

(E1) : s*cos(alpha_1)+(g+a)*cos(alpha _2)-b*cos(alpha_4)-c*cos(gamma)-d=0
(E2) : s*sin(alpha_1)+(g+a)*sin(alpha _2)-b*sin(alpha_4)-c*sin(gamma)=0
(E3) : s*cos(alpha_1)+g*cos(alpha_2)-p*cos(alpha_3)-h=0
(E4) : s*sin(alpha_1)+g*sin(alpha_2)-p*sin(alpha_3)=0

J'ai essayé de résoudre ce système à la main mais je me retrouve assez vite bloqué.
Le but étant d'éliminer alpha_2, alpha_3, alpha_4 pour obtenir alpha_1 en fonction de gamma seulement.
s, g, a , b, c, p et d sont des constantes (longueurs dans la réalité) dont je devrai choisir la valeur ensuite pour obtenir les angles souhaités en entrée et en sortie.

avec cos^2+sin^2=1, je peux éliminer alpha_2 ou alpha_3 en utilisant (E1) et (E2) mais je suis bloqué après quand même.

Le système me semble très difficile à résoudre à la main.

Je ne connais pas de logiciels me permettant de résoudre ce système pour obtenir une seule équation qui nous donne la loi entrée sortie.

Dans mon cas, l'entrée est le pendule (angle gamma) et la sortie est la rotation complète (angle alpha_1).

Il faut que mon mécanisme effectue entre 110° et 112° en entrée (côté pendule) et 54° ou 60° ou 90° ou 108° (par ordre de préférence) en sortie (lorsque l'entrée a fait un demi tour).
Si quelqu'un est capable de me donner directement toutes les valeurs des longueurs pour obtenir les bons angles en entrée et en sortie, je suis preneur.

Mais l'objectif est d'abord de trouver cette relation entrée sortie. Avec ça, je pense que je pourrai déjà avancer un peu.

Merci à tous ceux qui prendront le temps de m'aider!
-----

[gg0]

Bonjour.

À priori, une élimination va donner une équation très compliquée dans laquelle il restera des cos et sin de alpha1 et de gamma. Ce qui ne donnera pas, dans le cas extraordinaire où on peut résoudre en sin(alpha1) par exemple la valeur de alpha1, mais une infinité de valeurs.
Problème supplémentaire, la première équation est en général sans solution, il y a des contraintes sur les paramètres s, g, a, b, c et d pour qu'il y ait des solutions.
Donc je ne crois pas que tu puisses obtenir une expression de alpha1 en fonction de gamma.

Cordialement.

[Ekinox]

Je vous remercie pour votre réponse.
Il n'est donc pas possible d'obtenir la loi entrée sortie du mécanisme et donc de résoudre le problème par calcul.

Savez-vous comment je pourrais procéder pour parvenir à avoir les bons angles en entrée en en sortie (si cela est possible)?
J'ai essayé de modifier les côtes des longueurs sur un logiciel de CAO mais je n'arrive pas à ce que je veux puisque la modification d'un paramètre entraine la modification des autres de maniére incontrolée.

De pus, il faut que le système reste réversible, ce qui se traduit probablement par d'autres contraintes géométriques que je n'arrive pas à voir.

Peut etre que vous connaissez d'autres mécanisme permettant de transformer une rotation alternée type pendule en une rotation dans un seul seul. Le mécanisme ne doit pas faire apparaitre de points morts, càd qu'il ne doit pas avoir le choix, à un moment donné de tourner dans un sens ou dans un autre.

Bien cordialement.

[gg0]

Je ne suis pas spécialiste de mécanique, mais pour le problème mathématique il existe des "solveurs", par exemple dans les tableurs évolués. Mais tu manipules trop de paramètres simultanés pour que ça marche. Il faudrait mieux délimiter le problème.
Note : les horlogers traitent le problème contraire, faire d'une rotation dans un seul sens un mouvement de balancier.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Bonjour,

Une étude cinématique : Kinematic_analysis_and_synthes is_of_an_adjustable_six-bar_linkage

[Ekinox]

Je vous remercie.

Si j'ai bien compris, cette étude considère l'entrée comme étant la rotation dans un seul sens et la sortie comme étant le mouvement de pendule. Dans mon cas, il faudrait l'inverse puisque je récupère un mouvement alternatif que je souhaiterais retransformer en rotation dans un seul sens.
J'avoue que les calculs semblent aussi assez complexes et ils introduisent des paramétres sans les noter sur un schéma : difficile donc de suivre les calculs effectués pour ma part.

J'ai repris les memes dimensions que dans leur schema pour voir comment tout cela bougeait et les ai mis sur un logiciel de CAO mais le mouvement ne semble pas réversible.

Peut etre que vous avez en tete d'autres mecanismes qui permettraient de faire cette fonction plus simplement (transformation d'un mouvement alternatif en rotation dans un seul sens). Je suis contraint au niveau des angles d'entrée et de sortie que je ne peux pas choisir librement, ce qui rend la recherche de solution encore plus complexe.
Lorsque mon entrée fait une periode, ma sortie doit faire un tour exactement. Et sur une demi-période en entrée, la sortie doit parcourir 54°, ou 60° ou 90° ou 108° (par ordre de préférence), et donc 360-l'angle sur la demi-période restante.

En vous remerciant.

[MissJenny]

Note : les horlogers traitent le problème contraire, faire d'une rotation dans un seul sens un mouvement de balancier.

euh... non. Dans une horloge le balancier ne sert qu'à régulariser le mouvement, mais ce qui anime la montre c'est un ressort qui se déroule, et pour les horloge comtoises la descente d'un poids.

[gg0]

En fait, c'est le ressort ou le poids qui maintient le mouvement du balancier (sinon il s'arrêterait vite). Donc il y a bien la transformation voulue.

Cordialement.

[MissJenny]

tu as peut-être raison. Mais en tout cas c'est un système très différent de la machine de Chebischev, et en particulier le balancier oscille à son rythme propre, qui n'est pas fonction de la tension du ressort.

[XK150]

Vous avez tous les deux raison :

- C'est bien la roue portant le poids ( ou le barillet du ressort ) qui est la première roue motrice . Et qui entraîne toutes les autres .
- C'est vrai aussi que le balancier reçoit une impulsion en fin d'échappement pour entretenir son mouvement qui provient de la même source d'énergie mécanique .