Brachistochrone

[sebsheep]

Bonjour,

Je m'intéresse au problème de la brachistochrone. Je suis tombé sur la page wiki :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_brachistochrone,
mais je ne comprends pas comment on résout l'équa dif en bas de la page.

L'équa diff est : (1-y'²)y=-D
Wiki propose de poser y'=cotan(t/2).
grâce à ça, je trouve 1-y'² = 1/sin²(t/2) et donc : y=-Dsin²(t/2) = -D/2(1-cos(t))
Jusque là, ça va.
Par contre, wiki donne aprèes : x(t) = D/2 ( t-sin(t))
Mais je ne vois pas du tout d'où ça peut venir ! Et il n'y a aucun détail sur la page wiki. Quelqu'un a des idées?

Merci
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[Médiat]

Bonjour,

Dans l'équation y'=cotan(t/2), il faut se souvenir (wikipedia aurait dû être plus clair) que y'=dy/dx et donc que dy = cotan(t/2)dx .
Vous savez que y = -D/2(1-cos(t)), il suffit de calculer dy/dt à partir de cette équation et de remplacer dans la précédente pour avoir une relation entre dx et dt, et en intégrant vous aurez x en fonction de t ...

[sebsheep]

Merci de ta réponse !

[sebsheep]

Re bonjour,

Je cherche maintenant à déterminer D et t_f en fonction des conditions de bords (x_f,y_f) (où t_f est tel que x(t_f)=x_f et y(t_f)=y_f).

Cela revient à trouver les zéros de


J'ai donc pensé à une méthode de newton en 2 dimension, mais problème, le jacobien est :

qui s'annule beaucoup de fois. Je ne peux donc pas appliquer cette méthode car elle demande d'inverser la différentielle ... Quelqu'un a des idées pour contourner ce problème ? Ou une autre méthode pour trouver les zéros ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]