Dualité, réflexivité dans les Banach

[FAN FAN]

Bonjour,

Je voudrais avoir des précisions, mon cours sur les espaces fonctionnels n'est pas très clair ou plutôt je l'ai mal compris.

Je considère les espaces de Banach L^p = {f: E -> C, ||f||_p < infini} avec C le corps des complexes, E = (E,B(E),m) un espace mesuré, ||f||_p = (Somme |f|^p dm)^1/p et p >= 1.

Soient p et q des exposants conjugués (1/p + 1/q =1) et L^p* le dual topologique de L^p

Je voudrais savoir si les trois affirmations suivantes sont bien exactes:

1. p € ]1,+ infini[ (donc q = p/(p-1) € ]1,+infini[), alors:
L^p* isomorphe L^q
L^p** isomorphe L^p, c'est à dire L^p est refextif.

2. p =1 (donc q =infini), alors:
L¹* isomorphe L^infini si et seulement si m est sigma-fini (cette dernière condition est-elle exacte ?)

3. p =infini (donc q =1), alors:
L^infini* non isomorphe L¹.

Quand je dis isomorphe, il s'agit d'isomorphisme d'espaces de Banach, c'est à dire:
- bijection
- linéarité conservée dans la directe et la réciproque (espaces vectoriels)
- isométrie pour la directe et la réciproque (espaces normés)
- complétude conservée c'est à dire l'image et l'image réciproque d'une suite convergente est une suite convergente (espaces complets).

Merci pour des précisions sur ces trois points.
-----

[invite899aa2b3]

Bonjour,
pour le 1 je sais que c'est vrai quand la mesure est -finie, il faut que je regarde dans le cas général.
Pour le 2, je sais que le sens indirect est vrai; pour le direct il faut aussi que je regarde. (en tout cas si on prend , , et on sent que ça doit jouer quelque part.
Pour le 3, je crois que c'est vrai sauf cas vraiment triviaux ou pathologiques.