densité dans un Banach

[invite9b650739]

Bonsoir à tous,
j'ai une petite question à vous poser, alors voila:
soit un Banach, et un opérateur linéaire strictement positif.
la question est:
si est réflexif alors est dense dans
je sais qu'il faut appliquer le corollaire de densité du théorème de Hahn Banach, mais je sais pas très bien comment l'utiliser,
quelques indications me serviront beaucoup
Merci d'avance et Bonsoir à tous
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[invitea0db811c]

Bonsoir,
Un opérateur strictement positif... ? Quelle est cette bête ?

[invite9b650739]

bonsoir,
un opérateur strictement positif est par définition :
et pour

[invitea0db811c]

tu n'est donc pas dans un banach, mais dans un espace de hilbert.

edit : enfin si, par définition, mais pas seulement ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

tu n'est donc pas dans un banach, mais dans un espace de hilbert.

L'opérateur est défini de dans le dual , donc est le crochet de dualité entre la forme linéaire et le vecteur ; il n'y a pas de produit scalaire et pas de structure hilbertienne.

[invitea0db811c]

Hoooo !

d'accord, méa culpa ><'. je réfléchit à la question donc.

[invitea0db811c]

Il me semble que la chose est alors très facile :

Soit f un élément du bi-dual nul sur T(X), alors par réflexivité il existe x dans X tel que :

f : g -> g(x).

De là tu devrais pouvoir trouver...

Au cas où ça coince :

 Cliquez pour afficher

remplace g par ce qu'il faut pour avoir une jolie info sur x

[invite9b650739]

bonjour,
j'arrive pas à bien comprendre, parce que je comprend pas très bien la notion de réflexivité, voulez vous bien me détailler un petit peu
Merci d'avance et bonne soirée..

[invitea0db811c]

Alors on dit qu'un espace de banach est reflexif si et seulement si l'application A : X -> (X*)* Qui a tout x dans X associe l'application
F(x) : X* -> K (le corps de départ)
f -> f(x)

est un isomorphisme.

De là, vient ce que j'ai dit. De là tu peux calculer la forme valeur de f en... Mettons Tx . De là que peux tu en déduire sur x et donc sur f ?

[invited7441b93]

Soit deux evn.
ssi pour tout avec .

Dans notre cas et par la réflexivité on se donne dans on suppose que pour x dans X fixé pour tout y dans X mais la positivité implique x=0 et donc donc .

[invite9b650739]

Alors on dit qu'un espace de banach est reflexif si et seulement si l'application A : X -> (X*)* Qui a tout x dans X associe l'application
F(x) : X* -> K (le corps de départ)
f -> f(x)

est un isomorphisme.
De là, vient ce que j'ai dit. De là tu peux calculer la forme valeur de f en... Mettons Tx . De là que peux tu en déduire sur x et donc sur f ?

donc , comme vous avez dit:
si je prends un élément f du bidual, qui s'annule sur puisque X est réflexif , il existe qui lui associé
et la on prend notre element g comme puisque et puisque f s'annule sur T(X) alors f s'annule partout , c'est ça ???
mais pour la rédaction je ne suis pas sur que c'est la bonne,
Merci beaucoup pour votre réponse

[invitea0db811c]

d'après la def :

f(Tx) = Tx(x) = 0 car f s'annule sur T(X). Donc x = 0 donc f = 0, donc avec HB, on a la densité de T(X).

[invite9b650739]

Soit deux evn.
ssi pour tout avec .

Dans notre cas et par la réflexivité on se donne dans on suppose que pour x dans X fixé pour tout y dans X mais la positivité implique x=0 et donc donc .

bonsoir,
j'arrive pas à vous suivre, à la fin vous avez dit, c'est quoi ,dans notre cas on a l'ensemble

[invite9b650739]

d'après la def :

f(Tx) = Tx(x) = 0 car f s'annule sur T(X). Donc x = 0 donc f = 0, donc avec HB, on a la densité de T(X).

je suis désolée de vous poser tant de question, mais j'arrive pas à voir pourquoi f(Tx) = Tx(x)
Merci encore ...

[invited7441b93]

Excuses il faut mettre l’adhérence de T(X) au lieu de celle de E'...

[invitea0db811c]

par définition, il existe un x dans X tel que :

f(g) = g(x) pour tout g dans X*.

De là comme Tx appartient au dual, on a f(Tx) = Tx(x) or Tx appartient à l'ensemble T(X) et donc Tx(x) = 0, donc x = 0 par strict positivité de T. Donc f est la forme linéaire nulle, et donc T(X) est dense dans X*.

[invite9b650739]

bonsoir à tous,
Merci pafnouti pour votre réponse..

thepasboss:
maintenant je vois plus clair, je savais pas que f(g) = g(x) et donc on aura f=0 tq f:g-->g(x) donc f s’annule sur tout X** , et on aura la densité,
Merci beaucoup pour votre précieuse aide...
et bonne nuit à tous ..