Densité dans R

invite095d3681 · 01/02/2009, 21h36

Si on choisi un point au hasard sur la droite des réels, quelle est la probabilité pour que son abscisse soit un nombre algébrique ? et quelle est la probabilité pour que son abscisse soit un nombre transcendant ?

**God's Breath** · 01/02/2009, 21h48

Envoyé par Costian

Si on choisi un point au hasard sur la droite des réels,

Si le hasard est mesuré uniformément par la longueur des intervalles de la droite réelle,

Envoyé par Costian

quelle est la probabilité pour que son abscisse soit un nombre algébrique ?

cette probabilité est nulle

Envoyé par Costian

et quelle est la probabilité pour que son abscisse soit un nombre transcendant ?

et celle-ci vaut 1.

invite095d3681 · 01/02/2009, 21h53

Si le hasard est mesuré uniformément par la longueur des intervalles de la droite réelle,

Que voulez vous dire exactement, je n'est pas bien compris, et pouvez vous expliquer le résultat que vous avez donné ?

**God's Breath** · 01/02/2009, 22h05

Je demande quelle est TA DÉFINITION du hasard dans cette situation précise.

Je choisis au hasard un point sur la droite réelle, et je note $\text{[math]}$ son abscisse,.

La probabilité qu'il existe une personne dont la taille est $\text{[math]}$ mètres est nulle si $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

La probabilité qu'il existe une personne dont la masse est $\text{[math]}$ kilogrammes est nulle si $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Pour $\text{[math]}$ , la probabilité est nulle dans le premier cas, non nulle dans le second.

Il faut donc dire comment tu définis la probabilité dans la situation que tu envisages.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite095d3681 · 01/02/2009, 22h28

Et si on choisi un point au hasard dans l'intervalle [0;2] ?

invite0fb72cf8 · 02/02/2009, 10h19

Envoyé par Costian

Et si on choisi un point au hasard dans l'intervalle [0;2] ?

Vu que je suis un bayésien tordu, je décide que mon prior est une mesure delta concentrée sur 1. Par rapport à cette densité:
- la probabilité qu'un nombre pris au hasard soit algébrique est 1
- la probabilité qu'un nombre pris au hasard soit transcendant est 0

Si j'avais pris une mesure de Lebesgue (densité uniforme), alors c'est l'inverse évidement

.

**Sylvestre** · 02/02/2009, 13h04

Bonjour,

Existe-t-il une mesure sur [0,1] telle que la probabilité de tomber sur un transcendant soit 1/2 ?

**Médiat** · 02/02/2009, 13h17

Envoyé par Sylvestre

Bonjour,

Existe-t-il une mesure sur [0,1] telle que la probabilité de tomber sur un transcendant soit 1/2 ?

En prenant une mesure sur les algébriques A telle que m₁(A) = 1/2 et une sur les transcendants T telle que m₂(T) = 1/2, la mesure m définie par m(E) = m((E inter A) U (E inter T)) = m₁(E inter A) + m₂(E inter T), cela devrait coller, il me semble ...

**Sylvestre** · 02/02/2009, 13h41

Envoyé par Médiat

cela devrait coller, il me semble ...

Très juste.

Je vais réfléchir à comment définir m1 et m2, maintenant...

invite0fb72cf8 · 02/02/2009, 13h45

Envoyé par Sylvestre

Bonjour,

Existe-t-il une mesure sur [0,1] telle que la probabilité de tomber sur un transcendant soit 1/2 ?

$\text{[math]}$

invite986312212 · 02/02/2009, 13h50

salut,

la mesure de Lebesgue de l'ensemble des réels algébriques est nulle, donc difficile de trouver une mesure non triviale. Mais bien sûr, sur la tribu réduite aux quatre éléments {vide, algébriques, transcendants, tous} pas de problème

invite986312212 · 02/02/2009, 13h51

Envoyé par Ising

$\text{[math]}$

ce n'est pas une mesure (pas sigma-additive)

invité576543 · 02/02/2009, 14h08

Envoyé par ambrosio

ce n'est pas une mesure (pas sigma-additive)

J'aurais pensé que si...

Cordialement,

invite0fb72cf8 · 02/02/2009, 14h09

Envoyé par ambrosio

ce n'est pas une mesure (pas sigma-additive)

Non, c'est la 'densité' d'une mesure, désolé.

invite986312212 · 02/02/2009, 14h37

euh, désolé. J'ai lu trop vite et j'ai cru à autre chose. L'exemple est valide: la probabilité de tirer un algébrique entre 0 et 1 est bien 1/2 !

Densité dans R

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Re : densité dans R

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