Densité de Paley-Wienner dans $L^{2}[-1,1]$

[invite412f80f3]

Bonjour.
J'ai une petite question à poser. j'ai essayer la réponse que je vais poster aussi et je veux qu'on me dise si ma tentative de réponse est correcte ou fausse, et si c'est le cas (fausse) quelle est la bonne réponse? et merci bien davantage pour votre aide.

Soit un réel strictement positif. On désigne par l'espace de Paley-Wienner défini par

Ma question est: est ce que l'espace de Paley-Wienner est dense dans .?
et voila ma tentative de réponse:
On sait que les fonction de sont analytique et les fonctions analytique sont dense dans donc les fonction de sont dense dans .
est ce que j'ai raison????
j'ai vraiment besion de vos remarques.
Et merci
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[invite6acfe16b]

On sait que les fonction de sont analytique et les fonctions analytique sont dense dans donc les fonction de sont dense dans .
est ce que j'ai raison????

Salut,

Lorsque l'on dit que les fonctions analytiques sont dense dans , on veut dire que l'ensemble entier des fonctions analytiques est dense. Cela ne veut pas dire qu'une de ses parties est dense. C'est la même chose lorsque l'on dit que que est dense dans , cela ne veut pas dire que l'ensemble des rationnels compris entre 0 et 1 l'est aussi. Même si tous les rationnels entre 0 et 1 sont des rationnels.

[invite412f80f3]

ce que je comprend de ta réponse c'est que l'espace de Paley-Wienner n'est pas dense dans .
Je ne sais pas si on peut avoir par hasard la meme base pour deux espaces de Hilbert différents:
Exemple:
L'espace muni de son produit scalaire usuel et l'espace muni du produit scalaire usuel de .
Ces deux espaces peuvent-ils avoir une même base hilbertienne?
merci pour vos remarques

[invite6acfe16b]

ce que je comprend de ta réponse c'est que l'espace de Paley-Wienner n'est pas dense dans .

Ce n'est pas ce que j'ai écrit. J'ai seulement dit que l'argument que tu utilisais n'étais pas une preuve.

L'espace muni de son produit scalaire usuel et l'espace muni du produit scalaire usuel de .
Ces deux espaces peuvent-ils avoir une même base hilbertienne?
merci pour vos remarques

Non, ces deux espaces ne peuvent pas avoir des base identiques tout simplement car ces deux espaces sont disjoints : Une fonction définie sur [-1,1] n'est pas une fonction définie sur .

Je crois qu'il y a donc une erreur de formulation dans le problème. Pourrais-tu donner la définition lorsque f est un élément de . Je crois que la définition donnée de ne convient pas puisqu'il serait constitué d'élément de , alors que l'on cherche plutôt à savoir si quelque chose est dense dans .
Est-ce que la bonne définition ne serait pas :

.

Mais je n'en suis pas sûr du tout puisque je ne suis pas sûr de la définition de la transformée de Fourier que tu utilises. J'aimerais donc savoir sur quel ensemble de fonction la transformée s'applique.

Une fois que l'on aura répondu à cette question, je pense que l'on pourra essayer de se poser la question de savoir sur la transformée est une application continue de cet ensemble. Et là, nous pourrons certainement montrer que n'est pas dense dans . C'est ce que je crois, mais je n'ai pas encore vraiment réfléchi à cette question. On pourrait par exemple trouver une fonction telle que sa transformée de Fourier a son support hors de [-c,c] et prouver que toute fonction dans un voisinage de celle-ce a aussi une transformée de Fourier dont le support est hors de [-c,c] (par continuité de l'opérateur transformée de Fourier).

Tout ceci n'est qu'une esquisse de ce que je crois être la solution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite412f80f3]

Merci pour la réponse: Voila je te corrige une idée peut être fausse à mon avis. Tu dis que les deux espaces et sont disjoints alors qu'ils ne le sont pas. en effet la fonction est dans les 2 espaces.
De plus je vois que toute fonction dans est dans . ( en effet on montre que toute fonction dans est analytique sur ).
Je te répond finalement à ta question concernant la définition de la transformation de Fourier dans : Si alors sa transformée de Fourier est donnée par
Merci encore une autre fois pour ta réponse. s'il y ad'autre remarque je suis preneur.

[invite6acfe16b]

Merci pour la réponse: Voila je te corrige une idée peut être fausse à mon avis. Tu dis que les deux espaces et sont disjoints alors qu'ils ne le sont pas. en effet la fonction est dans les 2 espaces.

Non, l'espace est un espace de fonctions dont l'ensemble de définition est [-1,1], alors que est un espace de fonctions dont l'ensemble de définition est . Ces deux espaces sont donc bien disjoints.

Je réfléchis encore à ton problème. J'écrirai ce que j'aurai trouvé un peu plus tard.

[invite412f80f3]

bonjour mon cher Sylvestre:
Tu as bien raison les fonction de sont définies presque partout sur alors que les fonction de sont définie sur , mais la restriction des fonction de à l'intervalle sont dans , je me trompe pas non? et ainsi chaque fonction de est dans .
J'espère que j'ai raison. Sinon est ce que tu peux me donner un contre exemple. c'est à dire une fonction de dont la restriction à n'est pas dans ?
Et merci bien davantage pour l'aide.
amicalement
Dhahri

[invite6acfe16b]

Sinon est ce que tu peux me donner un contre exemple. c'est à dire une fonction de dont la restriction à n'est pas dans ?
Dhahri

Bien sûr que non. Ce que tu dis est vrai, mais le fait de prendre la restriction à [-1,1] d'une fonction définie sur R est une surjection de . Ce n'est pas l'inclusion d'un ensemble dans un autre. Voilà tout ce que je dis à ce sujet. Ce n'est pas le point essentiel de notre problème.

Sinon pour le problème initial, j'ai pensé qu'il fallait utiliser le fait que la transformée de Fourier conserve le produit scalaire. De tête, je me souviens que l'on a que (je ne suis pas sûr du ). Donc les distances sont conservées entre lorsque l'on fait une transformée de Fourier. C'est une isométrie. Ainsi, mon idée est de remarquer la fonction constante 1, a une transformée de Fourier qui est à une distance strictement supérieure à 0 de toute fonction dont le support est dans [-c,c]. Donc la fonction constante 1 n'est pas dans l'adhérence de et donc n'est pas dense.
Je ne suis pas très sûr de moi à propos de cette argument, mais à première vue, cela me semble correct. J'espère t'avoir un peu aidé.

[invite412f80f3]

Bonjour.
Parfois je me pose la question:
Peut être la définition de l'espace de Paley-Wienner que j'ai posté dans le premier message n'est pas la bonne définition?
si quelqu'un a la bonne définition qu'il me la donne et merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Dhahri