Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

[Gpadide]

Bonjour, pourriez vous m'aider a montrer que l'ensemble des matrices n,n inversibles est dense dans Mn(R) (i.e. l'ensemble des matrices n,n). Par exemple en introduisant une norme. Merci d'avance
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[pat7111]

Comme norme, tu peux par exemple prendre
, toutes les normes sur Mn étant équivalente.

Pour montrer ce que tu veux, il faut pour tout montrer qu'il existe une suite de matrices inversibles tendant vers M

Considère

La convergence est évidente, à toi de montrer qu'à partir d'un certain rang, est inversible, ce sera dans la poche

[Gpadide]

Merci pour tes explications mais ca reste flou pour moi. Je comprends pas bien la démarche: on passe par une suite, mais en quoi cela montre la densité des matrices inversibles ? Pour moi il faudrait montrer que pour tout epsilon et pour toute matrice M, il existe une matrice D inversible telle que ||M-D||<epsilon. En quoi ta methode est elle equivalente ?
Par ailleurs je voudrais savoir comment montrer proprement que M-(1/k)I est inversible ? on suppose le determinant nul et on montre qu'il peut etre non nul pour un certain cas mais comment faire soigneusement ?
Merci d'avance pour ces precisions

[Quinto]

Si tu montres que toute matrice est limite d'une suite de matrice inversible, ca revient exactement à montrer le résultat (ie aussi proche que tu sois de ta matrice, tu en trouve une inversible)

M-1/k n'est pas nécessairement inversible pour tout k, mais il est clair que det(M-1/k) ne peut pas prendre plus de n fois la valeur 0. Donc à partir d'un certain rang det(M-1/k) n'est jamais nul.
CQFD

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gpadide]

Merci c'est tres clair now.

[Doubino]

Bonjour à tous!

Je suis vraiment, vraiment désolé de ressortir un sujet si vieux mais j'ai un problème identique et je ne sais vraiment pas comment faire !

Voilà mon problème :

Je dois d'abord montrer que pour toute matrice A de Mn ( IR ) , il existe N de IN tel que pour tout m >= N,Det (A-In/m) soit non nul.

Et enfin , je dois montrer comme expliqué precedemment que pour tout matrice A de Mn ( IR ), il existe une suite de matrice inversibles tendant vers A.

J'ai suivit les explications données plus haut, mais impossible, je vois pas comment faire...

Merci de votre aide !

[Doubino]

Excusé moi , c'est plutot :

Je dois d'abord montrer que pour une matrice A non inversible , il existe N de IN tel que pour tout m >= N,Det (A-In/m) soit non nul.

[thepasboss]

Bonjour,

Et bien Det(A-(1/m)In) est un polynôme de degré n en 1/m, à partir de là c'est tout comme Quinto l'a dit.

[Doubino]

Merci de votre réponse

Je suis tout à fait d'accord pour le début, cepedant il n'est pas si clair pour moi que "det(M-1/k) ne peut pas prendre plus de n fois la valeur 0" ? Et quel est le lien avec le degré du polynôme ?

[Doubino]

Ah le polynome possède au maximum n racine c'est cà ?

[God's Breath]

Ah le polynome possède au maximum n racine c'est cà ?

OUI, gagné !!!

[Doubino]

Mais alos quel est le lien avec la valeur de 1/k ? Pourquoi k doit-it etre supérieur à un entier N ?

[God's Breath]

Mais alos quel est le lien avec la valeur de 1/k ? Pourquoi k doit-it etre supérieur à un entier N ?

Pour qu'il puisse tendre vers l'infini.

[Doubino]

Je ne comprend plus :S

[God's Breath]

Je ne comprend plus :S

On veut montrer que toute matrice est limite d'une suite de matrices inversibles.
On décide de prendre une suite de matrices définies par , qui est trivialement de limite .
Problème : ces matrices sont-elles inversibles.
Réponse : peut-être pas si l'on considère la suite pour , mais si l'on considère seulement la suite tronquée pour , alors elles sont inversibles.
La condition sert à "conserver" une suite de matrice et d'envisager sa limite quand tend vers l'infini.

Si l'on avait, au contraire, que est inversible pour , on se retrouverait avec une famille finie de matrices , donc plus de limite, et plus d'approche possible de la densité.

[Doubino]

Merci énormément, tout est beaucoup plus clair maintenant