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Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)



  1. #1
    Gpadide

    Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)


    ------

    Bonjour, pourriez vous m'aider a montrer que l'ensemble des matrices n,n inversibles est dense dans Mn(R) (i.e. l'ensemble des matrices n,n). Par exemple en introduisant une norme. Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    pat7111

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Comme norme, tu peux par exemple prendre
    , toutes les normes sur Mn étant équivalente.

    Pour montrer ce que tu veux, il faut pour tout montrer qu'il existe une suite de matrices inversibles tendant vers M

    Considère

    La convergence est évidente, à toi de montrer qu'à partir d'un certain rang, est inversible, ce sera dans la poche
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

  4. #3
    Gpadide

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Merci pour tes explications mais ca reste flou pour moi. Je comprends pas bien la démarche: on passe par une suite, mais en quoi cela montre la densité des matrices inversibles ? Pour moi il faudrait montrer que pour tout epsilon et pour toute matrice M, il existe une matrice D inversible telle que ||M-D||<epsilon. En quoi ta methode est elle equivalente ?
    Par ailleurs je voudrais savoir comment montrer proprement que M-(1/k)I est inversible ? on suppose le determinant nul et on montre qu'il peut etre non nul pour un certain cas mais comment faire soigneusement ?
    Merci d'avance pour ces precisions

  5. #4
    Quinto

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Si tu montres que toute matrice est limite d'une suite de matrice inversible, ca revient exactement à montrer le résultat (ie aussi proche que tu sois de ta matrice, tu en trouve une inversible)

    M-1/k n'est pas nécessairement inversible pour tout k, mais il est clair que det(M-1/k) ne peut pas prendre plus de n fois la valeur 0. Donc à partir d'un certain rang det(M-1/k) n'est jamais nul.
    CQFD

  6. #5
    Gpadide

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Merci c'est tres clair now.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Doubino

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Bonjour à tous!

    Je suis vraiment, vraiment désolé de ressortir un sujet si vieux mais j'ai un problème identique et je ne sais vraiment pas comment faire !

    Voilà mon problème :

    Je dois d'abord montrer que pour toute matrice A de Mn ( IR ) , il existe N de IN tel que pour tout m >= N,Det (A-In/m) soit non nul.

    Et enfin , je dois montrer comme expliqué precedemment que pour tout matrice A de Mn ( IR ), il existe une suite de matrice inversibles tendant vers A.

    J'ai suivit les explications données plus haut, mais impossible, je vois pas comment faire...

    Merci de votre aide !

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  10. #7
    Doubino

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Excusé moi , c'est plutot :

    Je dois d'abord montrer que pour une matrice A non inversible , il existe N de IN tel que pour tout m >= N,Det (A-In/m) soit non nul.

  11. #8
    thepasboss

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Bonjour,

    Et bien Det(A-(1/m)In) est un polynôme de degré n en 1/m, à partir de là c'est tout comme Quinto l'a dit.

  12. #9
    Doubino

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Merci de votre réponse

    Je suis tout à fait d'accord pour le début, cepedant il n'est pas si clair pour moi que "det(M-1/k) ne peut pas prendre plus de n fois la valeur 0" ? Et quel est le lien avec le degré du polynôme ?

  13. #10
    Doubino

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Ah le polynome possède au maximum n racine c'est cà ?

  14. #11
    God's Breath

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Citation Envoyé par Doubino Voir le message
    Ah le polynome possède au maximum n racine c'est cà ?
    OUI, gagné !!!

  15. #12
    Doubino

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Mais alos quel est le lien avec la valeur de 1/k ? Pourquoi k doit-it etre supérieur à un entier N ?

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  17. #13
    God's Breath

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Citation Envoyé par Doubino Voir le message
    Mais alos quel est le lien avec la valeur de 1/k ? Pourquoi k doit-it etre supérieur à un entier N ?
    Pour qu'il puisse tendre vers l'infini.

  18. #14
    Doubino

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Je ne comprend plus :S

  19. #15
    God's Breath

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Citation Envoyé par Doubino Voir le message
    Je ne comprend plus :S
    On veut montrer que toute matrice est limite d'une suite de matrices inversibles.
    On décide de prendre une suite de matrices définies par , qui est trivialement de limite .
    Problème : ces matrices sont-elles inversibles.
    Réponse : peut-être pas si l'on considère la suite pour , mais si l'on considère seulement la suite tronquée pour , alors elles sont inversibles.
    La condition sert à "conserver" une suite de matrice et d'envisager sa limite quand tend vers l'infini.

    Si l'on avait, au contraire, que est inversible pour , on se retrouverait avec une famille finie de matrices , donc plus de limite, et plus d'approche possible de la densité.

  20. #16
    Doubino

    Re : Aide svp : Densité de GLn(R) dans Mn(R)

    Merci énormément, tout est beaucoup plus clair maintenant

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