Pour montrer cela, une technique consisterait a passer par la fonction déterminant et dire que
GLn(R)=det^(-1)(R*). Mais 2 choses me bloquent :
- montrer la continuité de la fonction determinant
- peut on déclarer qu'elle est bijective de GLn(R) dans R* ? En effet plusieurs matrices peuvent avoir le meme déterminant non ?
Ensuite, suffit il de dire que GLn(R) est l'image d'un ouvert par une fonction continue pour conclure ?
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour,
- Pour la continuité du det, pense qu'une matrice est "à peu près" la même lorsque les coefficients ne bougent pas trop... Du coup, le déterminant aussi (bon, c'est volontairement flou, c'est pour te donner la piste...)
- Pas besoin d'avoir det bijective ! Dans toutes ces histoires d'ouverts, de fermés, etc., on parle d'image réciproque. Bon évidemment, la bijectivité peut parfois aider, mais ici c'est inutile. Par caractérisation des matrices inversibles (réelles) par leur det non nul, on a bien det^(-1)(R*) = GLn(R).
D'ailleurs, dans la même veine, tu pourrais te demander si GLn(R) est connexe ? Si non, quelles sont ses composantes connexes ? Idem pour GLn(C).
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rvz
Salut
pour le determinat, y a assez simple : une matrice est un ensemble d elementset le determinant est un polynome en ces elements donc c est continue.
vlad
