Question ouverte sur l'exponentiel

[invite9e7c75da]

Bonjour, j'ai déjà parlé de la question ouverte sur le forum orientation, et aujourd'hui, notre prof de math nous a donné un exo en dm sur la question ouverte. Cette question est la suivante:
d'après le cours on sait que pour tout x appartenant a R, x<exp(x), a-t-on 2x<exp(x)??? et a-t-on 3x<exp(x)??
(au passage ce n'est pas strictement mais inférieur ou égal)
Voilà et j'ai commencé à répondre à cette question mais j'ai un souci pour prouver que 2x<exp(x) je suis amené à résoudre ln(2)+ln(x)<x et je n'y arrive pas, aidez moi svp merci.
Mon raisonnement et le suivant:
exp(x)>x or x=exp(ln(x)) donc on a exp(x)>exp(lnx)
de plus 2x=2exp(lnx)=exp(ln2+lnx) et dans ce cas je dois prouver que exp(ln2+lnx)< exp(x) soit ln2+lnx< x et voilà je bloque...............est-ce un problème de raisonnement??
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[invite9e7c75da]

je viens de penser à une chose:
je doit prouver x>lnx+ln2 donc x- Lnx -Ln2 doit être supérieur à 0 donc cela revient à dire x-ln(x/2) supérieur à 0 et on sait que x>lnx donc cela prouve mon inégalité non???

[matthias]

Pourquoi tu ne fais pas tout bêtement une étude de fonction avec dérivée et cie ?

[Penangol]

f(x)=exp(x)-2x
f'(x)=exp(x)-2
exp(x)>2 <=> x>ln(2)
f est décroissante sur sur ]-oo;ln(2)] croissante sur [ln(2) ; +oo[
f(ln(2)) = 2-2ln2
ln(2)<1, donc 2 ln2 < 2 donc f(ln2)>0

f(ln2) étant le minimum de la fonction, f est postive sur R
donc exp(x)>2x
je pense que c'est la méthode à suivre ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e7c75da]

Ok merci de votre aide, c'est bon je viens de finir cette question........