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Densité d'un ensemble dans [0,1]



  1. #1
    G.Scott

    Densité d'un ensemble dans [0,1]


    ------

    Bonsoir, je n'arrive pas à montrer que {} avec est dense dans [0;1]
    J'arrive à montrer que mais je n'arrive pas à avancer plus loin.

    Pouvez vous m'aider ?

    -----

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  4. #2
    Ledescat

    Re : densité d'un ensemble dans [0,1]

    Bonjour.

    Soit c'est évident, soit j'ai pas compris l'exo...

    SI on appelle A cet ensemble, je trouve que A=IR\IQ inter [0;1]

    En effet, si x appartient à A, x=alpha/n , et si x était rationnel, alors alpha le serait.

    Si x appartient à IR\IQ inter[0;1], alors x=(nx)/n et si (nx) était rationnel, alors x le serait.

    Après, que IR\IQ inter [0;1] soit dense dans [0;1], c'est sensé être connu, non ?


    EDIT: à condition que frac(ab)=a/b pour toi..
    Cogito ergo sum.

  5. #3
    homotopie

    Re : densité d'un ensemble dans [0,1]

    Petit coup de fatigue Ledescat ?
    Ton "A" est non dénombrable contrairement à l'ensemble donné. Si frac(ab)=a/b, alors l'adhérence de l'ensemble est les éléments + la limite de la suite alpha/n à savoir 0 donc ce ne serait pas très dense.
    "frac" désigne plutôt partie fractionnaire (en gros les chiffres après la virgule).
    Maintenant avec Z au lieu de N pas de problème Z.alpha+Z.1 est un sous-groupe qui ne peut être de la forme aZ (a ne peut pas diviser 1 et un un irrationnel en même temps) donc c'est un sous-groupe dense dans R et en particulier dans [0,1].
    La difficulté est de pouvoir "choisir" le signe du multiplicateur de alpha. Je ne sais pas comment G.Scott a obtenu son 1er résultat mais le même problème se pose.
    Il suffit à partir de là de trouver une suite avec des n>0.
    Soit on l'a au départ et c'est fini.
    Soit on justifie que l'on a (à coup de sous-suites extraites) une suite (nk) d'entiers négatifs décroissante telle que tende vers 0 en décroissant.
    Alors on peut justifier que la suite (nk-nk+1) convient.

  6. #4
    G.Scott

    Re : densité d'un ensemble dans [0,1]

    J'ai essayé de montrer qu'il existait une sous suite de qui décroissaient en la construisant par récurrence, mais j'ai du mal à aboutir. Je n'arrive qu'à montrer facilement que la suite ne prend jamais deux valeurs identiques, mais je n'arrive pas a l'utiliser dans ma récurrence...

    Et j'avais oublié de préciser que

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    homotopie

    Re : densité d'un ensemble dans [0,1]

    Citation Envoyé par G.Scott Voir le message
    Et j'avais oublié de préciser que
    Ca n'a guère d'importance pour ne pas dire aucune.
    En partant de ton résultat, on a une suite (en posant n=p-q ou q-p suivant le signe de la différence des parties fractionnaires, on veut une différence positive pour être sur que c'est bien la partie fractionnaire) une suite (nk) d'éléments de Z tels que (frac(nk a), a=alpha, tend vers 0.
    S'il y a une infinité de nk positifs, c'est fini.
    Sinon il y a une infinité de négatifs, on prend la sous-suite ne contenant que les négatifs.
    Si le nombre de termes distincts est fini alors alors le nombre de valeurs de frac(nk a) est fini et son adhérence est égal à lui-même donc 0 est dedans (contradiction ou on dit que l'on a fini). Sinon le nombre de termes est infini, on peut donc extraire une sous-suite strictement décroissante (récurrence utilisant un petit raisonnement par l'absurde).
    De cette dernière sous-suite (n'k), on pose n"0=n'0, frac(n'0 a) =0 (fini) sinon il existe n'1 tel que frac(n'j0 a)<frac(n'0 a), on pose n"0=n'j0 puisque ça converge vers 0. En récurant ce raisonnement on montre que l'on a une suite (n''k) strictement décroissante tel que (frac(n"k a) soit strictement décroissante et tendant vers 0.
    Il n'y a plus qu'à montrer que (n"k-n"k+1) convient.

  9. #6
    G.Scott

    Re : Densité d'un ensemble dans [0,1]

    OK merci, sinon en faisant des recherches j'ai trouvé ça :
    On montre dans un premier temps que l'ensemble A des réels de la forme où (m,n) est dense dans R (classique : il faut utiliser le fait que A est un sous groupe de (R,+) ).
    Ensuite on montre que l'ensemble B constitué par les réels de la forme est dense dans [0,1] comme ceci :

    Soit J un intervalle ouvert non vide de I = [0,1].
    Puisque A est dense dans R alors tel que .
    Or
    Donc
    Comme , (on a l'irrationalité) , alors nécessairement pour avoir
    D'où
    Et c'est fini car J est donné quelconque

    Merci pour vos réponses.

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  11. #7
    homotopie

    Re : Densité d'un ensemble dans [0,1]

    Citation Envoyé par G.Scott Voir le message
    OK merci, sinon en faisant des recherches j'ai trouvé ça :
    On montre dans un premier temps que l'ensemble A des réels de la forme où (m,n) est dense dans R (classique : il faut utiliser le fait que A est un sous groupe de (R,+) ).
    Ensuite on montre que l'ensemble B constitué par les réels de la forme est dense dans [0,1] comme ceci :

    Soit J un intervalle ouvert non vide de I = [0,1].
    Puisque A est dense dans R alors tel que .
    Or
    Donc
    Comme , (on a l'irrationalité) , alors nécessairement pour avoir
    D'où
    Et c'est fini car J est donné quelconque

    Merci pour vos réponses.
    C'est ce que j'avais "résumé" en
    Citation Envoyé par homotopie
    Maintenant avec Z au lieu de N pas de problème Z.alpha+Z.1 est un sous-groupe qui ne peut être de la forme aZ (a ne peut pas diviser 1 et un un irrationnel en même temps) donc c'est un sous-groupe dense dans R et en particulier dans [0,1].
    Ce n'est pas l'expression en partie fractionnaire qui est la plus délicate. Le plus délicat est de se limiter à N.alpha et non Z.alpha.

    Et donc ce que tu as trouvé est insuffisant pour résoudre le problème qui t'est posé car ce que tu as c'est que {frac(m.alpha) m dans Z} est dense dans [0,1)} et non {frac(m.alpha) m dans N} est dense dans [0,1)}.

  12. #8
    G.Scott

    Re : Densité d'un ensemble dans [0,1]

    J'ai un peu de mal a comprendre pourquoi :
    on a une suite (en posant n=p-q ou q-p suivant le signe de la différence des parties fractionnaires, on veut une différence positive pour être sur que c'est bien la partie fractionnaire) une suite (nk) d'éléments de Z tels que (frac(nk a), a=alpha, tend vers 0.
    On n'a pas frac(ap)-frac(aq) = frac(a(p-q)), comment fais tu ?
    Ensuite :
    son adhérence est égal à lui-même donc 0 est dedans (contradiction ou on dit que l'on a fini).
    Et je ne vois pas très bien où tu veux en venir avec nk-nk+1

  13. #9
    Ledescat

    Re : densité d'un ensemble dans [0,1]

    Ah, je ne connaissais pas "frac", alors au temps pour moi (décidément en ce moment, je les accumule ).
    Cogito ergo sum.

  14. #10
    homotopie

    Re : Densité d'un ensemble dans [0,1]

    Citation Envoyé par G.Scott Voir le message
    J'ai un peu de mal a comprendre pourquoi :
    On n'a pas frac(ap)-frac(aq) = frac(a(p-q)), comment fais tu ?
    On ne l'a pas toujours mais on l'a parfois :
    rappel : par définition de frac, on a pour tout réel x
    x=ent(x)+frac(x)
    ent(x) : partie entière de x
    cette égalité définit de manière unique ent(x) et frac(x) si on impose en plus ent(x) est un entier frac(x) est dans [0,1[.
    Maintenant,
    ap=ent(ap)+frac(ap)
    aq=ent(aq)+frac(aq)
    a(p-q)=[ent(ap)-ent(aq)]+[frac(ap)-frac(aq)]
    ent(ap)-ent(aq) est un entier car différence de deux entiers, il ne reste qu'à vérifier que frac(ap)-frac(aq) est dans [0,1[.
    On a toujours frac(ap)-frac(aq)<=frac(ap)<1
    On a donc frac(a(p-q)=frac(ap)-frac(aq) si et seulement si frac(ap)-frac(aq)>=0 càd frac(ap)>=frac(aq).
    Sinon, on a frac(ap)-frac(aq) est dans ]-1;0[ et 1+frac(ap)-frac(aq) est dans ]0;1[, en particulier dans [0;1[. Et comme a(p-q)=[ent(ap)-ent(aq)-1]+[frac(ap)-frac(aq)+1], dans ce cas on a ent(a(p-q))=ent(ap)-ent(aq)-1 ; frac(a(p-q))=frac(ap)-frac(aq)+1.

    Citation Envoyé par G.Scott
    Ensuite :

    Et je ne vois pas très bien où tu veux en venir avec nk-nk+1
    Ce que l'on a au départ est que {frac(na) pour n dans Z} est dense dans [0;1], on veut avoir {frac(na) pour n dans N} dense dans [0;1].
    Ce n'est pas très éloigné mais ce n'est pas immédiat.
    Soit x dans [0;1], on a une suite (mh) d'entiers relatifs tels que frac(amh) tend vers x. On en voudrait une où les mh sont des entiers naturels. On peut en obtenir une si on une suite d'entiers naturels non nuls (nk) tels que frac(ank) tend vers 0. (Ceci implique (nk) tnd vers +infini, je te laisse le vérifier).
    En effet, pour h donné, mh+mh.nk est un entier naturel pour k assez grand (>=kh,1) car (nk) tend vers +infini. Pour k assez grand (>=kh,2) on a aussi frac(amh)+ frac(ank)<1 car frac(ank) tend vers 0 et frac(amh)<1. Ceci implique que frac(a(mh+nk))=frac(amh)+frac(ank), même type de preuve que précédemment.
    En posant kh=max(kh,1 , kh,2) on a la suite (m'h=mh+nk) est une suite d'entiers naturels tels que frac(am'h) tend vers x+0=x.
    La construction d'une telle suite d'entiers naturels (nk) (avec parfois des notations différentes) a été donnée précédemment.

  15. #11
    G.Scott

    Re : Densité d'un ensemble dans [0,1]

    D'accord j'ai bien compris ton raisonnement. Merci beaucoup !

  16. #12
    easythomas

    Re : Densité d'un ensemble dans [0,1]

    Plus généralement, si a < 0, b > 0, a/b irrationnel, alors Na+Nb est dense.

    Pour le prouver, si au+bv = e > 0 assez petit, on a forcément u et v de même signe. Supposons par exemple qu'ils sont négatifs.
    Après c'est facile, il suffit, pour glisser un nombre de cette forme entre 0 < c < d (par exemple mais ça marche aussi si négatif), de prendre e < (d-c), puis de "dépasser suffisamment d" à l'aide d'un multiple de b > v, et ensuite de retrancher, le multiple voulu de e.
    Je pense que cela répond à ta question de manière simple.

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