Densité d'un ensemble dans [0,1]

[inviteb4b89598]

Bonsoir, je n'arrive pas à montrer que {} avec est dense dans [0;1]
J'arrive à montrer que mais je n'arrive pas à avancer plus loin.

Pouvez vous m'aider ?
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[invitec053041c]

Bonjour.

Soit c'est évident, soit j'ai pas compris l'exo...

SI on appelle A cet ensemble, je trouve que A=IR\IQ inter [0;1]

En effet, si x appartient à A, x=alpha/n , et si x était rationnel, alors alpha le serait.

Si x appartient à IR\IQ inter[0;1], alors x=(nx)/n et si (nx) était rationnel, alors x le serait.

Après, que IR\IQ inter [0;1] soit dense dans [0;1], c'est sensé être connu, non ?


EDIT: à condition que frac(ab)=a/b pour toi..

[invite35452583]

Petit coup de fatigue Ledescat ?
Ton "A" est non dénombrable contrairement à l'ensemble donné. Si frac(ab)=a/b, alors l'adhérence de l'ensemble est les éléments + la limite de la suite alpha/n à savoir 0 donc ce ne serait pas très dense.
"frac" désigne plutôt partie fractionnaire (en gros les chiffres après la virgule).
Maintenant avec Z au lieu de N pas de problème Z.alpha+Z.1 est un sous-groupe qui ne peut être de la forme aZ (a ne peut pas diviser 1 et un un irrationnel en même temps) donc c'est un sous-groupe dense dans R et en particulier dans [0,1].
La difficulté est de pouvoir "choisir" le signe du multiplicateur de alpha. Je ne sais pas comment G.Scott a obtenu son 1er résultat mais le même problème se pose.
Il suffit à partir de là de trouver une suite avec des n>0.
Soit on l'a au départ et c'est fini.
Soit on justifie que l'on a (à coup de sous-suites extraites) une suite (n_k) d'entiers négatifs décroissante telle que tende vers 0 en décroissant.
Alors on peut justifier que la suite (n_k-n_k+1) convient.

[inviteb4b89598]

J'ai essayé de montrer qu'il existait une sous suite de qui décroissaient en la construisant par récurrence, mais j'ai du mal à aboutir. Je n'arrive qu'à montrer facilement que la suite ne prend jamais deux valeurs identiques, mais je n'arrive pas a l'utiliser dans ma récurrence...

Et j'avais oublié de préciser que

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Et j'avais oublié de préciser que

Ca n'a guère d'importance pour ne pas dire aucune.
En partant de ton résultat, on a une suite (en posant n=p-q ou q-p suivant le signe de la différence des parties fractionnaires, on veut une différence positive pour être sur que c'est bien la partie fractionnaire) une suite (n_k) d'éléments de Z tels que (frac(n_k a), a=alpha, tend vers 0.
S'il y a une infinité de n_k positifs, c'est fini.
Sinon il y a une infinité de négatifs, on prend la sous-suite ne contenant que les négatifs.
Si le nombre de termes distincts est fini alors alors le nombre de valeurs de frac(n_k a) est fini et son adhérence est égal à lui-même donc 0 est dedans (contradiction ou on dit que l'on a fini). Sinon le nombre de termes est infini, on peut donc extraire une sous-suite strictement décroissante (récurrence utilisant un petit raisonnement par l'absurde).
De cette dernière sous-suite (n'k), on pose n"0=n'0, frac(n'₀ a) =0 (fini) sinon il existe n'₁ tel que frac(n'_j0 a)<frac(n'₀ a), on pose n"₀=n'_j0 puisque ça converge vers 0. En récurant ce raisonnement on montre que l'on a une suite (n''_k) strictement décroissante tel que (frac(n"_k a) soit strictement décroissante et tendant vers 0.
Il n'y a plus qu'à montrer que (n"_k-n"_k+1) convient.

[inviteb4b89598]

OK merci, sinon en faisant des recherches j'ai trouvé ça :
On montre dans un premier temps que l'ensemble A des réels de la forme où (m,n) est dense dans R (classique : il faut utiliser le fait que A est un sous groupe de (R,+) ).
Ensuite on montre que l'ensemble B constitué par les réels de la forme est dense dans [0,1] comme ceci :

Soit J un intervalle ouvert non vide de I = [0,1].
Puisque A est dense dans R alors tel que .
Or
Donc
Comme , (on a l'irrationalité) , alors nécessairement pour avoir
D'où
Et c'est fini car J est donné quelconque

Merci pour vos réponses.

[invite35452583]

OK merci, sinon en faisant des recherches j'ai trouvé ça :
On montre dans un premier temps que l'ensemble A des réels de la forme où (m,n) est dense dans R (classique : il faut utiliser le fait que A est un sous groupe de (R,+) ).
Ensuite on montre que l'ensemble B constitué par les réels de la forme est dense dans [0,1] comme ceci :

Soit J un intervalle ouvert non vide de I = [0,1].
Puisque A est dense dans R alors tel que .
Or
Donc
Comme , (on a l'irrationalité) , alors nécessairement pour avoir
D'où
Et c'est fini car J est donné quelconque

Merci pour vos réponses.

C'est ce que j'avais "résumé" en

Maintenant avec Z au lieu de N pas de problème Z.alpha+Z.1 est un sous-groupe qui ne peut être de la forme aZ (a ne peut pas diviser 1 et un un irrationnel en même temps) donc c'est un sous-groupe dense dans R et en particulier dans [0,1].

Ce n'est pas l'expression en partie fractionnaire qui est la plus délicate. Le plus délicat est de se limiter à N.alpha et non Z.alpha.

Et donc ce que tu as trouvé est insuffisant pour résoudre le problème qui t'est posé car ce que tu as c'est que {frac(m.alpha) m dans Z} est dense dans [0,1)} et non {frac(m.alpha) m dans N} est dense dans [0,1)}.

[inviteb4b89598]

J'ai un peu de mal a comprendre pourquoi :

on a une suite (en posant n=p-q ou q-p suivant le signe de la différence des parties fractionnaires, on veut une différence positive pour être sur que c'est bien la partie fractionnaire) une suite (nk) d'éléments de Z tels que (frac(nk a), a=alpha, tend vers 0.

On n'a pas frac(ap)-frac(aq) = frac(a(p-q)), comment fais tu ?
Ensuite :

son adhérence est égal à lui-même donc 0 est dedans (contradiction ou on dit que l'on a fini).

Et je ne vois pas très bien où tu veux en venir avec n_k-n_k+1

[invitec053041c]

Ah, je ne connaissais pas "frac", alors au temps pour moi (décidément en ce moment, je les accumule ).

[invite35452583]

J'ai un peu de mal a comprendre pourquoi :
On n'a pas frac(ap)-frac(aq) = frac(a(p-q)), comment fais tu ?

On ne l'a pas toujours mais on l'a parfois :
rappel : par définition de frac, on a pour tout réel x
x=ent(x)+frac(x)
ent(x) : partie entière de x
cette égalité définit de manière unique ent(x) et frac(x) si on impose en plus ent(x) est un entier frac(x) est dans [0,1[.
Maintenant,
ap=ent(ap)+frac(ap)
aq=ent(aq)+frac(aq)
a(p-q)=[ent(ap)-ent(aq)]+[frac(ap)-frac(aq)]
ent(ap)-ent(aq) est un entier car différence de deux entiers, il ne reste qu'à vérifier que frac(ap)-frac(aq) est dans [0,1[.
On a toujours frac(ap)-frac(aq)<=frac(ap)<1
On a donc frac(a(p-q)=frac(ap)-frac(aq) si et seulement si frac(ap)-frac(aq)>=0 càd frac(ap)>=frac(aq).
Sinon, on a frac(ap)-frac(aq) est dans ]-1;0[ et 1+frac(ap)-frac(aq) est dans ]0;1[, en particulier dans [0;1[. Et comme a(p-q)=[ent(ap)-ent(aq)-1]+[frac(ap)-frac(aq)+1], dans ce cas on a ent(a(p-q))=ent(ap)-ent(aq)-1 ; frac(a(p-q))=frac(ap)-frac(aq)+1.

Ensuite :

Et je ne vois pas très bien où tu veux en venir avec n_k-n_k+1

Ce que l'on a au départ est que {frac(na) pour n dans Z} est dense dans [0;1], on veut avoir {frac(na) pour n dans N} dense dans [0;1].
Ce n'est pas très éloigné mais ce n'est pas immédiat.
Soit x dans [0;1], on a une suite (m_h) d'entiers relatifs tels que frac(am_h) tend vers x. On en voudrait une où les m_h sont des entiers naturels. On peut en obtenir une si on une suite d'entiers naturels non nuls (n_k) tels que frac(an_k) tend vers 0. (Ceci implique (nk) tnd vers +infini, je te laisse le vérifier).
En effet, pour h donné, m_h+m_h.n_k est un entier naturel pour k assez grand (>=k_h,1) car (n_k) tend vers +infini. Pour k assez grand (>=k_h,2) on a aussi frac(am_h)+ frac(an_k)<1 car frac(an_k) tend vers 0 et frac(am_h)<1. Ceci implique que frac(a(m_h+n_k))=frac(am_h)+frac(an_k), même type de preuve que précédemment.
En posant k_h=max(k_h,1 , k_h,2) on a la suite (m'_h=m_h+n_k) est une suite d'entiers naturels tels que frac(am'_h) tend vers x+0=x.
La construction d'une telle suite d'entiers naturels (n_k) (avec parfois des notations différentes) a été donnée précédemment.

[inviteb4b89598]

D'accord j'ai bien compris ton raisonnement. Merci beaucoup !

[invited04d42cd]

Plus généralement, si a < 0, b > 0, a/b irrationnel, alors Na+Nb est dense.

Pour le prouver, si au+bv = e > 0 assez petit, on a forcément u et v de même signe. Supposons par exemple qu'ils sont négatifs.
Après c'est facile, il suffit, pour glisser un nombre de cette forme entre 0 < c < d (par exemple mais ça marche aussi si négatif), de prendre e < (d-c), puis de "dépasser suffisamment d" à l'aide d'un multiple de b > v, et ensuite de retrancher, le multiple voulu de e.
Je pense que cela répond à ta question de manière simple.