bonjour,
j'aurais voulu savoir si dans un ensemble E, on peut toujours considérer un segment tx+(1-t)y avec x et y dans E , t dans [0,1],et est ce que le segment reste dans E, s'il existe ?
quels conditions pour que l'on puisse effectivement considérer ce segment ?
, bon voilà, à +, j'espère.
ahhhh
c'est évident qu'il faut un espace vectoriel.
Salut,
C'est la définition de "convexe": pour tout x et y de E, le segment [x,y] est inclus dans E...
La réponse a été donnée par Coincoin, c'est une très bonne question à se poser et on essaie de généraliser un peu plus ces notions.
Etoilé par rapport à a: Pour tout point b de notre ensemble, le segment [ab] est inclus dans notre ensemble.
Convexe: pour 2points x,y quelconque de l'ensemble, le segment [ab]={at+(1-t)b/t€[0,1]} est intégralement dans notre ensemble. On remarque assez facilement qu'un convexe est étoilé par rapport à chacun de ses points.
Connexe (simplement/par arcs): Pour tout points a et b de notre ensemble E, il existe un arc qui relie ces points. Un arc c'est le graphe d'une fonction f continue de [0,1] dans l'ensemble E, telle que f(0)=a et f(1)=b.
Tu remarques assez facilement qu'un convexe est connexe et qu'un étoilé est aussi connexe.
La démonstration est simple, il suffit de montrer qu'un étoilé en a est connexe, et une démonstration "avec les mains" serait de voir que pour tout points b et c quelconque de notre ensemble E, comme E est étoilé par rapport à a, on a a et b qui sont reliés par un segment et a et c qui sont aussi reliés par un segment, et d'après ce que l'on connait sur les résultats de continuité, b et c sont donc reliés par une ligne brisée (arcs affines par morceaux) et comme un convexe est étoilé par rapport à tous ses points, on a encore le résultat.
Tout ca s'inscrit dans le cadre des espaces topologiques, ce qui est ma foi fort interessant comme domaine, bien que parfois un peu compliqué...
ah, merci, pour ces précision,
ça m'a même ammené à tomber sur l'ensemble des
,excellent tout ça!fonction f continue de [0,1] dans l'ensemble E, telle que f(0)=a et f(1)=a.
dupo: à titre informatif, l'ensemble que tu mentionne est appellé l'espace des lacets en a
Quinto: la connexité et la connexité par arcs sont deux notions différentes. Quant à la notion de "simplement connexe", c'est encore une autre histoire... il faut faire attention à ne pas mélanger tout cela (sinon les topologues seront fachés)
Oui je sais, un espace connexe par arcs est connexe mais pas de réciproque
Sinon j'ai toujours entendu dire que la simple connexité et la connexité par arcs étaient la même chose... On m'aurait menti?
La notion de simplement connexe est quelque chose d'assez différent de la connexité tout court... Expliqué très grossièrement avec les mains, un ensemble simplement connexe et un ensemble qui n'a pas de "trou" (par exemple dans R² une couronne circulaire est multiplement connexe).
Re : segment dans un ensemble
Pour définir correctement un ensemble simplement connexe, il faut s'intéresser aux notions de lacets (cas particuliers de chemins) et d'homotopies.
Un ensemble simplement connexe est connexe par arcs (par définition, il me semble).
S1 (le cercle unité) est un exemple d'ensemble connexe par arcs qui n'est pas simplement connexe.
oui c'est juste, un espace est simplement connexe s'il est connexe par arc et que son premier groupe d'homotopie, le groupe fondamental, est trivial.
Bein alors c'est bien ce que je disais un simplement connexe est un connexe par arcs...
bon c'est un peu plus
Je n'ai jamais su qu'il y'avait une différence entre les 2..
