Dénombrement: nombre de couple dans un ensemble avec condition

[invite4ffe6e57]

Bonjour,

voici un problème qui m'ennui:
combien y a t'il de couples (X,Y) € P(E) tq X U Y = E

on remarque qe la solution est mais je ne sait pas comment raisonner pour le démontrer.

merci de m'aider
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[invite9cf21bce]

Salut !

Fixe un couple (X,Y). Chaque élément de E a alors trois possibilités. Tu attribues un numéro à chacune de ces possibilités (1, 2 ou 3).
On obtient ainsi une application E --> {1,2,3}.

Reste à montrer que l'application ainsi construite

{(X,Y);X U Y = E} --> applications de E dans {1,2,3}

est bijective. Ce n'est pas difficile.

[invite4ffe6e57]

donc en fait les trois possibilitées sont, pour e € E,
e€ X (1)
e € Y (2)
e € X inter Y (3)

mais on pourrait pas dire que c'est tout simplement le nombre de permutation de e dans (1)(2)(3), soit

[invite9cf21bce]

donc en fait les trois possibilitées sont, pour e € E,
e€ X (1)
e € Y (2)
e € X inter Y (3)

j'aurais plutôt pris e € X\Y, e € Y\X, et e€(X inter Y).

En groupant les codages de tous les éléments de E, on obtient une application E --> {1,2,3}. Je ne pense pas qu'on puisse parler de "permutation" ici, explique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ffe6e57]

et bien le nombre d'application qui a e fait correspondre une des trois possibilités, card(e)=n, => , en fait je ne sais pas trop si "permutation" est le terme adéquat...

[invite9cf21bce]

Voilà, tu y es...

L'histoire de bijection c'est pour être sûr qu'il y a exactement autant de couples (X,Y) que de codages E --> {1,2,3}

Deux difficultés peuvent se produire :
- deux couples distincts ont le même codage
- certains codages ne correspondent à aucun couple

La première difficulté ne se produit pas si c'est injectif.
La deuxième ne se produit pas si c'est surjectif.

[invite4ffe6e57]

d'accord j'ai compreis, mais dernière question, qu'appelle tu codage? une appication?

[invite9cf21bce]

d'accord j'ai compreis, mais dernière question, qu'appelle tu codage? une appication?

Oui c'est ça, une application E --> {1,2,3}.