problème sur les nombres

[invite095d3681]

Aidez moi:
Soit un nombre g n'appartenant pas à N, tel que g > 0, montrer que (g^2) n'appartient pas aussi à N (l'ensemble des entiers naturels, j'utilise pas latex pour la notation mathématique).
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[invite2c3ff3cc]

Aidez moi:
Soit un nombre g n'appartenant pas à N, tel que g > 0, montrer que (g^2) n'appartient pas aussi à N (l'ensemble des entiers naturels, j'utilise pas latex pour la notation mathématique).

La cas de me parait assez douloureux

[Médiat]

La cas de me parait assez douloureux

Je suppose que dans l'énoncé g est un rationnel n'appartenant pas à IN

[invite095d3681]

J'ai oublié de dire que g est un rationnel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Rapidement : décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

[invite095d3681]

Rapidement : décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

Pouvez vous me montrer comment pas à pas ? une démonstration complète SVP.

[invite4fbb3489]

Je ne suis pas sûre que la décomposition en facteurs premiers soit très judicieuse, enfin il y a plus simple je pense.

g est rationnel positif donc il s'écrit g=p/q où p et q sont des entiers naturels non nuls (puisque g est non nul car non entier) premiers entre eux.
g²=p²/q².
Après ça on raisonne par l'absurde : on suppose que g² est entier, disons g²=n.
Alors p²=q²n.
Donc p divise q²n. Mais p et q sont premiers entre eux donc (théorème de Gauss) p divise n. n=pn' avec n' entier. On réinjecte ça dans l'équation de départ et on simplifie par p (possible puisque p non nul). Après il faut recommencer de la même façon et on obtient bien une absurdité

[invite35452583]

Je ne suis pas sûre que la décomposition en facteurs premiers soit très judicieuse, enfin il y a plus simple je pense.

g=p/q avec p et q premiers entre eux (collège)
p=produit de facteurs premiers entre eux q idem, aucun premier ne se retrouve des deux côtés car p et q sont premiers entre eux (seconde, on faisait ça en 5ème avant).
g²=p²/q², les premiers dans la décomposition de p² (resp q²) sont les mêmes que dans celle de p (resp.q) car il y a unicité des décompositions en facteur premier (seconde)
Or il y a au moins un premier dans la décomposition de q car g n'est pas un entier donc dans celle de q², ce premier ne se retrouve ni dans celle de p ni dans celle de p² donc q² ne divise pas p² et g² n'est pas un entier.
Rédaction exhaustive qui ne requiert aucune astuce fut-elle classique.