Une urne contient a boules blanches et b boules noires (a et b>0).
On prélève les boules une à une, au hasard, sans remise.
soit A l'évènement "on a tiré les a boules blanches au cours des k premiers tirages"
comment calculer la probaibilité de A en utilisant des combinaisons?
Je ne suis vraiment pas sûr de moi mais :
ce qui se simplifie légèrement en exprimant.
Je n'ai pas vérifié si les premiers résultats concordaient ni rien ...
Plop,
Je dirais au numérateur combinaison de a parmi k...
Soit
On cherche la probabilité de A, avec A = {avoir les a boules blanches parmi les k tirées}
Donc
(équiprobabilité)
Qui se simplifie aussi...
Oui, autant pour moi, on ne tire que k boules ... (entre parenthèse : ou Manhattan)
En fait, je ne comprends même pas pourquoi on peut utiliser des combinaisons puisque le trage des k boules s'effectue avec un ordre.
L'ordre, c'est l'agencement. Si on veut que tu tires les a boules dans un certain ordre, alors là, il faudra prendre les arrangements, alors que la combinaison c'est "dans ma main, j'ai les a boules, peu importe dans quel ordre je les ai tirées".
Il n'y a généralement pas de notion d'"ordre" au niveau du tirage ^^
Imagine le loto : tu coches les n° de ta grille. Certes, le tirage se fait et les boules apparaissent dans un certain ordre. Mais au final, ça n'importe pas, puisque l'essentiel est d'avoir les n° de la grille.
donc en fait P(A) correspond à la probabilité, lorsque j'ai k boules dans ma main, de pouvoir retrouver les a blanches dans ma main.
On peut voir les choses comme ça oui ^^
En gros :
- tu tires k boules parmi a+b -> (k,a+b) possibilités
- parmi ces k boules, il y a (a,k) possibilités pour qu'il y ait les a boules recherchées
Proba = nb possibilités pour qu'il y ait les a boules / nb possibilités de tirages de k boules (fraction possible car il y a équiprobabilité)
Tiens, je trouve autre chose...
Alors que MMM :
Et bubulle :
Mon idée est que A est identique à la probabilité que, lorsque l'on pioche a+b-k boules, elles soient toutes noires (expression de gauche) ou que, lorsque l'on répartit les boules blanches parmi toutes les boules, elles se retrouvent dans les k premières (expression de gauche).
Et je tiens à remarquer que seule mon expression donne 1 lorsque k=a+b, ce qui est une condition nécessaire.
Dernière modification par Garf ; 28/02/2008 à 23h04.
C'était mon idée première aussi.Envoyé par Garf
En effet.
sinon le raisonnement de MMM peut être remis sur ses pieds. Univers des possibles : a places parmi a+b. Partie qui nous intéresse : a places parmi k. D'où ton résultat.
Coucou,
Moi pas comprendre pourquoiUnivers des possibles : a places parmi a+b
A vrai dire, la 1ère fois que j'ai essayé j'ai trouvé exactement la même chose que Garf; à ceci près que je suis parti du raisonnement suivant:
-univers des possibles: (on considère les a boules blanches comme discernables et les b boules noires comme discernables) nombre d'arrangements de k boules parmi a+b = nombre de tirages possibles de k boules
-cas favorables: (a parmi k) * a! * b!/(b+a-k)!
en effet: on place a boules noires dans le k-uplet= a parmi k possibilités
pour la 1ère boule:a choix, pour la 2ème a-1 choix,...pour la a ème, 1 choix, d'où : a! choix
on comble les k-a places vacantes du k-uplet avec des boules noires:
pour la 1ère boule, b choix, pour la 2ème b-1 choix, pour la (k-a)ème, b+a-k+1 choix, d'où: b!/(b+a-k)! choix
d'où P(A)= (a parmi k) * a! * b!/(b+a-k)! / nombre d'arrangements de k boules parmi a+b ; soit , en simplifiant, le résultat trouvé par Garf
Plop !
J'ai eu un cours de proba aujourd'hui, c'est génial
-> mot clé : loi hypergéométrique, (a+b, a, k)
La formule est alors :
Et quand on regarde pour k=a+b, on a bien 1 (c'est la seule vérification possible, non ?)
La prof a pris le cas général, où on avait une urne avec des boules de différentes couleurs, et a calculé la proba d'avoir k boules d'une couleur quand on en prend n, sans remise. En gros, il faut considérer l'espace de probabilité Omega comme étant l'ensemble des combinaisons possibles de n (ici k) éléments parmi N (ici a+b). Puis, il faut calculer le nombre de combinaisons possibles de n_1 (ici a) boules rouges et n_2 (ici k-a) boules noires. Et cet espace est en bijection avec [n_1 parmi les n boules rouges]*[n_2 boules parmi les N-n boules noires]
De deux couleurs *de différentes couleurs
(cas généralisé à plusieurs couleurs, mais c'est autre chose)
je ne fais pas le lien avec une loi hypergéométrique; avec une loi hypergéométrique, on tire à chaque fois N=a+b boules, alors qu'ici on en tire k
en fait l'exercice original que j'ai à faire me dit qu'on définit une variable aléatoire T qui correspond au 1er tirage à l'issue duquel il n'y a, dans l'urne, que des boules d'une même couleur; ainsi la 1ère question me demande de trouver l'ensemble des valeurs prises par T: j'ai trouvé T(omega)=[[min(a,b); a+b-1]]
c'est ensuite la 2ème question de l'exo qui me demande de trouver pour tout k de T(omega) la probabilité de A; et là je coince puisqu'on envisage des tirages de k boules!
Pas dans une loi hypergéométrique... On en tire bien k parmi a+b. J'ai mis l'exemple de N=a+b pour vérifier que ça faisait 1.on tire à chaque fois N=a+b boules, alors qu'ici on en tire k
Prélever les boules une à une, sans remise, revient à les prendre simultanément. On les prend une à une parce que nos mains ne sont pas assez grandes pour en prendre k d'un seul coup...
On dispose d'un ensemble
L'ensemble
pourqoui card(A)=(k-a parmi b) ?L'ensemble
Parce que, si je note
Autrement dit, une éventualité favorable est déterminée de manière unique par les
L'idée est en fait bonne car on retrouveTiens, je trouve autre chose...
...
Mon idée est que A est identique à la probabilité que, lorsque l'on pioche a+b-k boules, elles soient toutes noires (expression de gauche) ou que, lorsque l'on répartit les boules blanches parmi toutes les boules, elles se retrouvent dans les k premières (expression de gauche).
D'autre part, on a
D'où en simplifiant par (a+b-k)! on obtient bien
Donc Garf et moi avions raison.
Pourquoi a parmi a+b et a parmi k ? parce que l'on peut voir ainsi : cas possibles les a places des boules blanches sont situés dans a+b possibilités alors que les cas qui nous intéressent sont a places parmi k possibles.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_hyp...om%C3%A9triqueUne loi hypergéométrique de paramètres n, p et A correspond au modèle suivant:
On tire simultanément n boules dans une urne contenant pA boules gagnantes et qA boules perdantes (avec q = 1 - p). On compte alors le nombre de boules gagnantes extraites et on appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de boules gagnantes.
pA=a
qA=b
A=a+b
k=a
n=k
En fait, je mets juste ça pour demander pourquoi ça ne s'appliquerait pas ici ? God et moi (en second lieu) trouvons la même chose, Garf et toi une autre chose.
Que faire ?!?
Je ne remettais pas en doute votre résultat, il est plus que clair que c'est une loi hypergéométrique donnant la formule que tu as donnée. Mon post avait pour but de dire que ce n'est pas parce que nos formules ne sont pas formellement identiques que les résultats divergent, relis la 1ère ligne je montre que l'on retrouve votre formule. Derrière les apparences nous obtenons bien la même valeur, les voies pour l'atteindre sont différentes c'est tout.http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_hyp...om%C3%A9trique
pA=a
qA=b
A=a+b
k=a
n=k
En fait, je mets juste ça pour demander pourquoi ça ne s'appliquerait pas ici ? God et moi (en second lieu
Que faire ?!?
Oups, excuse-moi, je n'avais pas vu que les résultats se recoupaient
Très cordialement,
Jusqu'ici on a calculé P(toutes les boules blanches sont sorties avant ou au le kème tirage)=:P(B<=k).
On va peut-être faire le lien.
B : variable aléatoire=tirage auquel toutes les boules blanches sont sorties. N est la variable aléatoire= tirage auquel toutes les boules noires sont sorties.
P(T=k)=P(B=k)+P(N=k) car ces deux évènements sont incompatibles (à justifier plus amplement néanmoins).
P(B=k)=P(B<=k)-P(B<=k-1).
Et P(N=k) s'obtient en permutant a et b.
