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Dénombrement



  1. #1
    maseru

    Dénombrement

    Une urne contient a boules blanches et b boules noires (a et b>0).
    On prélève les boules une à une, au hasard, sans remise.

    soit A l'évènement "on a tiré les a boules blanches au cours des k premiers tirages"

    comment calculer la probaibilité de A en utilisant des combinaisons?

    -----


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  3. #2
    bubulle_01

    Re : Dénombrement

    Je ne suis vraiment pas sûr de moi mais :
    ce qui se simplifie légèrement en exprimant.
    Je n'ai pas vérifié si les premiers résultats concordaient ni rien ...

  4. #3
    MiMoiMolette

    Re : Dénombrement

    Plop,

    Je dirais au numérateur combinaison de a parmi k...

    Soit = {combinaisons possibles de k éléments parmi a+b}



    On cherche la probabilité de A, avec A = {avoir les a boules blanches parmi les k tirées}



    Donc
    (équiprobabilité)

    Qui se simplifie aussi...
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  5. #4
    bubulle_01

    Re : Dénombrement

    Oui, autant pour moi, on ne tire que k boules ... (entre parenthèse : ou Manhattan )

  6. #5
    maseru

    Re : Dénombrement

    En fait, je ne comprends même pas pourquoi on peut utiliser des combinaisons puisque le trage des k boules s'effectue avec un ordre.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    MiMoiMolette

    Re : Dénombrement

    L'ordre, c'est l'agencement. Si on veut que tu tires les a boules dans un certain ordre, alors là, il faudra prendre les arrangements, alors que la combinaison c'est "dans ma main, j'ai les a boules, peu importe dans quel ordre je les ai tirées".

    Il n'y a généralement pas de notion d'"ordre" au niveau du tirage ^^

    Imagine le loto : tu coches les n° de ta grille. Certes, le tirage se fait et les boules apparaissent dans un certain ordre. Mais au final, ça n'importe pas, puisque l'essentiel est d'avoir les n° de la grille.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

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  10. #7
    maseru

    Re : Dénombrement

    donc en fait P(A) correspond à la probabilité, lorsque j'ai k boules dans ma main, de pouvoir retrouver les a blanches dans ma main.

  11. #8
    MiMoiMolette

    Re : Dénombrement

    On peut voir les choses comme ça oui ^^

    En gros :
    - tu tires k boules parmi a+b -> (k,a+b) possibilités
    - parmi ces k boules, il y a (a,k) possibilités pour qu'il y ait les a boules recherchées

    Proba = nb possibilités pour qu'il y ait les a boules / nb possibilités de tirages de k boules (fraction possible car il y a équiprobabilité)
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  12. #9
    Garf

    Re : Dénombrement

    Tiens, je trouve autre chose...



    Alors que MMM :



    Et bubulle :



    Mon idée est que A est identique à la probabilité que, lorsque l'on pioche a+b-k boules, elles soient toutes noires (expression de gauche) ou que, lorsque l'on répartit les boules blanches parmi toutes les boules, elles se retrouvent dans les k premières (expression de gauche).
    Et je tiens à remarquer que seule mon expression donne 1 lorsque k=a+b, ce qui est une condition nécessaire.
    Dernière modification par Garf ; 28/02/2008 à 23h04.

  13. #10
    homotopie

    Re : Dénombrement

    Citation Envoyé par Garf Voir le message
    Mon idée est que A est identique à la probabilité que, lorsque l'on pioche a+b-k boules, elles soient toutes noires (expression de gauche) ou que, lorsque l'on répartit les boules blanches parmi toutes les boules, elles se retrouvent dans les k premières (expression de gauche).
    C'était mon idée première aussi.
    Citation Envoyé par Garf
    Et je tiens à remarquer que seule mon expression donne 1 lorsque k=a+b, ce qui est une condition nécessaire.
    En effet.

    sinon le raisonnement de MMM peut être remis sur ses pieds. Univers des possibles : a places parmi a+b. Partie qui nous intéresse : a places parmi k. D'où ton résultat.

  14. #11
    MiMoiMolette

    Re : Dénombrement

    Coucou,

    Univers des possibles : a places parmi a+b
    Moi pas comprendre pourquoi
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  15. #12
    maseru

    Re : Dénombrement

    A vrai dire, la 1ère fois que j'ai essayé j'ai trouvé exactement la même chose que Garf; à ceci près que je suis parti du raisonnement suivant:

    -univers des possibles: (on considère les a boules blanches comme discernables et les b boules noires comme discernables) nombre d'arrangements de k boules parmi a+b = nombre de tirages possibles de k boules

    -cas favorables: (a parmi k) * a! * b!/(b+a-k)!
    en effet: on place a boules noires dans le k-uplet= a parmi k possibilités
    pour la 1ère boule:a choix, pour la 2ème a-1 choix,...pour la a ème, 1 choix, d'où : a! choix
    on comble les k-a places vacantes du k-uplet avec des boules noires:
    pour la 1ère boule, b choix, pour la 2ème b-1 choix, pour la (k-a)ème, b+a-k+1 choix, d'où: b!/(b+a-k)! choix

    d'où P(A)= (a parmi k) * a! * b!/(b+a-k)! / nombre d'arrangements de k boules parmi a+b ; soit , en simplifiant, le résultat trouvé par Garf

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  17. #13
    MiMoiMolette

    Re : Dénombrement

    Plop !

    J'ai eu un cours de proba aujourd'hui, c'est génial

    -> mot clé : loi hypergéométrique, (a+b, a, k)

    La formule est alors :



    Et quand on regarde pour k=a+b, on a bien 1 (c'est la seule vérification possible, non ?)



    La prof a pris le cas général, où on avait une urne avec des boules de différentes couleurs, et a calculé la proba d'avoir k boules d'une couleur quand on en prend n, sans remise. En gros, il faut considérer l'espace de probabilité Omega comme étant l'ensemble des combinaisons possibles de n (ici k) éléments parmi N (ici a+b). Puis, il faut calculer le nombre de combinaisons possibles de n_1 (ici a) boules rouges et n_2 (ici k-a) boules noires. Et cet espace est en bijection avec [n_1 parmi les n boules rouges]*[n_2 boules parmi les N-n boules noires]
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 29/02/2008 à 14h25.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  18. #14
    MiMoiMolette

    Re : Dénombrement

    de différentes couleurs
    De deux couleurs *

    (cas généralisé à plusieurs couleurs, mais c'est autre chose)
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  19. #15
    maseru

    Re : Dénombrement

    je ne fais pas le lien avec une loi hypergéométrique; avec une loi hypergéométrique, on tire à chaque fois N=a+b boules, alors qu'ici on en tire k

    en fait l'exercice original que j'ai à faire me dit qu'on définit une variable aléatoire T qui correspond au 1er tirage à l'issue duquel il n'y a, dans l'urne, que des boules d'une même couleur; ainsi la 1ère question me demande de trouver l'ensemble des valeurs prises par T: j'ai trouvé T(omega)=[[min(a,b); a+b-1]]

    c'est ensuite la 2ème question de l'exo qui me demande de trouver pour tout k de T(omega) la probabilité de A; et là je coince puisqu'on envisage des tirages de k boules!

  20. #16
    MiMoiMolette

    Re : Dénombrement

    on tire à chaque fois N=a+b boules, alors qu'ici on en tire k
    Pas dans une loi hypergéométrique... On en tire bien k parmi a+b. J'ai mis l'exemple de N=a+b pour vérifier que ça faisait 1.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  21. #17
    God's Breath

    Re : Dénombrement

    Citation Envoyé par maseru Voir le message
    Une urne contient a boules blanches et b boules noires (a et b>0).
    On prélève les boules une à une, au hasard, sans remise.

    soit A l'évènement "on a tiré les a boules blanches au cours des k premiers tirages"

    comment calculer la probaibilité de A en utilisant des combinaisons?
    Prélever les boules une à une, sans remise, revient à les prendre simultanément. On les prend une à une parce que nos mains ne sont pas assez grandes pour en prendre k d'un seul coup...

    On dispose d'un ensemble de boules, et l'univers considéré est l'ensembles des parties de de cardinal , donc .

    L'ensemble des cas favorables est constituée des parties qui contiennent les boules blanches et boules noires parmi , donc et .

  22. #18
    maseru

    Re : Dénombrement

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    L'ensemble des cas favorables est constitué des parties qui contiennent les boules blanches et boules noires parmi , donc et .
    pourqoui card(A)=(k-a parmi b) ?

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  24. #19
    God's Breath

    Re : Dénombrement

    Citation Envoyé par maseru Voir le message
    pourqoui card(A)=(k-a parmi b) ?
    Parce que, si je note l'ensemble des parties à éléments de l'ensemble boules noires des boules noires, de cardinal boules noires, et l'ensemble des boules blanches, l'application est une bijection de dans .

    Autrement dit, une éventualité favorable est déterminée de manière unique par les boules noires qui y apparaissent, puisque les boules blanches sont imposées.

  25. #20
    homotopie

    Re : Dénombrement

    Citation Envoyé par Garf Voir le message
    Tiens, je trouve autre chose...


    ...
    Mon idée est que A est identique à la probabilité que, lorsque l'on pioche a+b-k boules, elles soient toutes noires (expression de gauche) ou que, lorsque l'on répartit les boules blanches parmi toutes les boules, elles se retrouvent dans les k premières (expression de gauche).
    L'idée est en fait bonne car on retrouve en utilisant deux fois .
    D'autre part, on a

    D'où en simplifiant par (a+b-k)! on obtient bien


    Donc Garf et moi avions raison.

    Pourquoi a parmi a+b et a parmi k ? parce que l'on peut voir ainsi : cas possibles les a places des boules blanches sont situés dans a+b possibilités alors que les cas qui nous intéressent sont a places parmi k possibles.

  26. #21
    MiMoiMolette

    Re : Dénombrement

    Une loi hypergéométrique de paramètres n, p et A correspond au modèle suivant:

    On tire simultanément n boules dans une urne contenant pA boules gagnantes et qA boules perdantes (avec q = 1 - p). On compte alors le nombre de boules gagnantes extraites et on appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de boules gagnantes.
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_hyp...om%C3%A9trique

    pA=a
    qA=b
    A=a+b
    k=a
    n=k



    En fait, je mets juste ça pour demander pourquoi ça ne s'appliquerait pas ici ? God et moi (en second lieu ) trouvons la même chose, Garf et toi une autre chose.

    Que faire ?!?
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  27. #22
    homotopie

    Re : Dénombrement

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_hyp...om%C3%A9trique

    pA=a
    qA=b
    A=a+b
    k=a
    n=k



    En fait, je mets juste ça pour demander pourquoi ça ne s'appliquerait pas ici ? God et moi (en second lieu ) trouvons la même chose, Garf et toi une autre chose.

    Que faire ?!?
    Je ne remettais pas en doute votre résultat, il est plus que clair que c'est une loi hypergéométrique donnant la formule que tu as donnée. Mon post avait pour but de dire que ce n'est pas parce que nos formules ne sont pas formellement identiques que les résultats divergent, relis la 1ère ligne je montre que l'on retrouve votre formule. Derrière les apparences nous obtenons bien la même valeur, les voies pour l'atteindre sont différentes c'est tout.

  28. #23
    MiMoiMolette

    Re : Dénombrement

    Oups, excuse-moi, je n'avais pas vu que les résultats se recoupaient

    Très cordialement,
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  29. #24
    homotopie

    Re : Dénombrement

    Citation Envoyé par maseru Voir le message
    je ne fais pas le lien avec une loi hypergéométrique; avec une loi hypergéométrique, on tire à chaque fois N=a+b boules, alors qu'ici on en tire k

    en fait l'exercice original que j'ai à faire me dit qu'on définit une variable aléatoire T qui correspond au 1er tirage à l'issue duquel il n'y a, dans l'urne, que des boules d'une même couleur; ainsi la 1ère question me demande de trouver l'ensemble des valeurs prises par T: j'ai trouvé T(omega)=[[min(a,b); a+b-1]]

    c'est ensuite la 2ème question de l'exo qui me demande de trouver pour tout k de T(omega) la probabilité de A; et là je coince puisqu'on envisage des tirages de k boules!
    Jusqu'ici on a calculé P(toutes les boules blanches sont sorties avant ou au le kème tirage)=:P(B<=k).
    On va peut-être faire le lien.
    B : variable aléatoire=tirage auquel toutes les boules blanches sont sorties. N est la variable aléatoire= tirage auquel toutes les boules noires sont sorties.
    P(T=k)=P(B=k)+P(N=k) car ces deux évènements sont incompatibles (à justifier plus amplement néanmoins).
    P(B=k)=P(B<=k)-P(B<=k-1).
    Et P(N=k) s'obtient en permutant a et b.

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