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Produit scalaire sur matrices



  1. #1
    jeanmi66

    Produit scalaire sur matrices


    ------

    Bonsoir à tous.

    j'ai réalisé un début d'exo, pourriez-vousme corriger svp ?

    On me dit:

    On désigne par l'ensemble des matrices carrées d'ordre "n" (n lignes et colonnes) à coef réels. On admet que l'espace a une structure d'espace vectoriel.

    Montrer que sur l'application
    défini un produit scalaire ( désigne la transposée de la matrice le produit de la transposée de la matrice A par B, et désigne la trace).

    Pour l'instant, j'ai dit: je pose une matrice 3x3 pour A et B. J'ai dit que je remplissait par des coef réels (1, 2, 3...). Je fais la transposée de A, je multiplie par B et je sors la trace qui au final, n'est qu'un chiffre N.

    Donc je vois pas trop comment montrer que ça défini un produit scalaire ?

    Merci

    PS : j'ai vu sur le cours que pour définir un produit scalaire, il fallait démontrer que l'application est une forme, bilinéaire, symétrique et définie positive, mais j'ai vu ça avec A et B comme des polynômes. Je vois pas comment faire pareil avec des matrices, si c'est bien ça qu'il faut faire !?

    -----
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Produit scalaire sur matrices

    Citation Envoyé par jeanmi66 Voir le message
    PS : j'ai vu sur le cours que pour définir un produit scalaire, il fallait démontrer que l'application est une forme, bilinéaire, symétrique et définie positive, mais j'ai vu ça avec A et B comme des polynômes. Je vois pas comment faire pareil avec des matrices, si c'est bien ça qu'il faut faire !?
    Le fait que l'on travaille sur des matrices ne change rien à la méthode :
    Puisque tu as vu que la valeur est un réel, tu est en présence d'une forme.
    Pour montrer qu'elle est bilinéaire, il va te falloir établir des égalités du genre , c'est à dire , ce qui n'est pas difficile dès lors que l'on sait que la transposition et la trace sont linéaires.
    Par contre pour établir qu'il s'agit d'une forme définie positive, il faudra calculer explicitement en fonction des éléments de .

  4. #3
    jeanmi66

    Re : Produit scalaire sur matrices

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    ...il va te falloir établir des égalités du genre ...
    Ok, mais je me suis mal exprimé. Je me doute de ces égalité mais je ne vois pas comment écrire ce fameux ou

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    ...Par contre pour établir qu'il s'agit d'une forme définie positive, il faudra calculer explicitement en fonction des éléments de .
    Ok, je vais essayer de le faire mais pour montrer avant cela la symétrie alors ?

    Merci
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  5. #4
    invite43219988

    Re : Produit scalaire sur matrices

    Ok, mais je me suis mal exprimé. Je me doute de ces égalité mais je ne vois pas comment écrire ce fameux A1 ou A2
    Il faut les écrire A1 et A2 et pas autrement.
    En gros on veut montrer que pour toutes matrices A, B et C :
    f(A+B,C)=f(A,C)+f(B,C) et
    f(A,B+C)=f(A,B)+f(A,C)

    Donc on prend trois matrices A et B et C de Mn(R) et on montre les inégalités précédentes en utilisant les propriétés de la trace et de la transposée.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    jeanmi66

    Re : Produit scalaire sur matrices

    Ok, merci beaucoup
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