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Exercice sur Polynômes et Produit scalaire



  1. #1
    Deeprod

    Exercice sur Polynômes et Produit scalaire

    J'ai un problème sur l'exos suivant...

    On note E l'ensemble les polynomes de degré inferieurs ou egale à 1
    Soit f un fonction continue sur -1, 1.
    on note (.|.)f la fonction :

    (P,Q) ---> integrale de -1 à 1 de P(t)Q(t)f(t)

    -------------------------------------------------

    Je dois trouver toutes les fonctions f polynomiales de degré 1, tel que (.|.)f soit un produit scalire sur E.

    J'ai deja prouver que (c'est les questions du probleme qui précedent) :

    1) pour tout fonction f, on a (.|.)f forme bilineaire symetrique.

    2) integrale de -1 à 1 de f(t)dt > 0

    3) Pour tout k dans R, integrale de -1 à 1 f(t)(t-k)²dt > 0

    4) (integrale(tf(t)))² < integrale(f(t)) integrale(f(t)t²) (toujours entre -1 et 1) ( en aplliquant cauchy schartz (1|t) )

    Si je note ma fonction f : ax +b, je peux tirer du resultats 2 le fait que b > 0. Mais je n'arrive pas a tirer quelques choses des suivants.

    Quelqu'un aurait une piste pour m'aider ?

    Merci

    -----


  2. #2
    homotopie

    Re : Exercice sur Polynômes et Produit scalaire

    Bonjour,
    pourtant des calculs explicites (f(x)=ax+b) donnent des résultats :
    le 4) aboutit à a²<3b². Mais cette condition n'est pas nécessairement suffisante, du moins arrivé à ce point.
    Le point 3 peut aussi donner à un calcul explicite (intégration par parties)
    On aboutit à un polynôme de degré 2 en k (ça se simplifie agréablement ) d'où on sait exhiber des conditions nécessaires et suffisantes sur les coefficients de ce polynôme, qui dépendent de a et b et on aboutit, sauf erreur de ma part, aux résultats précédents : b>0 et a²<3b².

  3. #3
    Deeprod

    Re : Exercice sur Polynômes et Produit scalaire

    Merci bien pour l'aide.

    Mais j'ai une autre piste, en fait, tous polynômes du premier degré est proportionel à t-k (ce qui me donne plus qu'un parametre pour mon polynomes), donc en utilisant la question 3, je devrais déduire pas mal de conditions sur ce polynomes.

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