Exercice sur Polynômes et Produit scalaire

[inviteedb947f2]

J'ai un problème sur l'exos suivant...

On note E l'ensemble les polynomes de degré inferieurs ou egale à 1
Soit f un fonction continue sur -1, 1.
on note (.|.)f la fonction :

(P,Q) ---> integrale de -1 à 1 de P(t)Q(t)f(t)

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Je dois trouver toutes les fonctions f polynomiales de degré 1, tel que (.|.)f soit un produit scalire sur E.

J'ai deja prouver que (c'est les questions du probleme qui précedent) :

1) pour tout fonction f, on a (.|.)f forme bilineaire symetrique.

2) integrale de -1 à 1 de f(t)dt > 0

3) Pour tout k dans R, integrale de -1 à 1 f(t)(t-k)²dt > 0

4) (integrale(tf(t)))² < integrale(f(t)) integrale(f(t)t²) (toujours entre -1 et 1) ( en aplliquant cauchy schartz (1|t) )

Si je note ma fonction f : ax +b, je peux tirer du resultats 2 le fait que b > 0. Mais je n'arrive pas a tirer quelques choses des suivants.

Quelqu'un aurait une piste pour m'aider ?

Merci
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[invite35452583]

Bonjour,
pourtant des calculs explicites (f(x)=ax+b) donnent des résultats :
le 4) aboutit à a²<3b². Mais cette condition n'est pas nécessairement suffisante, du moins arrivé à ce point.
Le point 3 peut aussi donner à un calcul explicite (intégration par parties)
On aboutit à un polynôme de degré 2 en k (ça se simplifie agréablement ) d'où on sait exhiber des conditions nécessaires et suffisantes sur les coefficients de ce polynôme, qui dépendent de a et b et on aboutit, sauf erreur de ma part, aux résultats précédents : b>0 et a²<3b².

[inviteedb947f2]

Merci bien pour l'aide.

Mais j'ai une autre piste, en fait, tous polynômes du premier degré est proportionel à t-k (ce qui me donne plus qu'un parametre pour mon polynomes), donc en utilisant la question 3, je devrais déduire pas mal de conditions sur ce polynomes.