DM sur le Produit scalaire

[invite2a6ae9f0]

Slt, je suis une élève de 1ºS qui a quelques difficultées et j'ai besois d'aide pour mon DM, SVP
Alors, ABC est un triangle renctangle en A.
On appelle M le milieu de [BC], H le projeté de A sur (BC), K le projeté orthogonal de H sur (AB) et L le projeté orthogonal de H au (AC).
On se propose de montrer que les droites AM et KL son perpendiculaires.

1) Exprimer vec AM en fonction des vec AB et AC.
J'ai un probleme, parceque j'allais utiliser une des formules sur les médianes mais je me suis rendu compte que les formules ne sont pas avec des vecteurs, et donc la he sais plus.( Mais je crois que AM^2= vec AM??)

2) Montrer, en exprimant de deux façons le produit scalaire AH . AB, que
AH^2= AH . AB
J'ai trouvée deux façons, mais les deux en utilisant Chasles:
AH·AB
=AH·(AH+HB)
=AH² + AH·HB
=AH² (parceque AH y HB sont perpendiculres)


AH·AB
= AH·(AC+CB)
= AH·AC + AH·CB
= AH·AC (car AH et CB sont orthogonaux)
= AH·(AH+HC)
= AH^2 + AH·HC
= AH^2 (car AH et HC sont orthogonaux)


3) Montrer que AK . AB= AL . AC
4) Calculer le produit scalaire AM . KL. Conclure.

Se serai vraiment gentil de votre part svp, merci d'avance!
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[Duke Alchemist]

Bonjour et bienvenu(e).

Pour la 1. Pars de M milieu de [BC] (relation vectorielle entre MB et MC) et insère le point A avec la relation de Chasles.

Pour la 2. Je ne vois pas d'objection à tes propositions.

Pour la 3. En "bidouillant" avec Chasles, tu devrais trouver...

Duke.

EDIT : En gras, ce sont des vecteurs

[invite2a6ae9f0]

Pour le 1) je sais pas comment et pourquoi on devrait insérer les vec MB et MC. Sinon, moi j'ai fais ça:
vec AM= 1/2 BC
= 1/2 MC + MB
= 1/2 (MA+AC) + (MB+AB)

Je suis pas sure que se soit bien

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pour le 1) je sais pas comment et pourquoi on devrait insérer les vec MB et MC. Sinon, moi j'ai fais ça:
vec AM= 1/2 BC
= 1/2 MC + MB
= 1/2 (MA+AC) + (MB+AB)

Je suis pas sure que se soit bien

D'où vient cette expression en gras ?
Je te propose de partir de M milieu de [BC] soit MB+MC=0.
Tu insères A avec Chasles et tu isoles AM...

Je ne vois pas ce qu'il y a de surprenant à cela...

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2a6ae9f0]

Pour le 3) j'ai trouvée ça:
AK·AB= (AH+HK)·(AC+CB)
= AH·AC + AH·CB + HK·AC + HK·CB
= AH·AC + AH·CB + HK·(AC+CB)
= AH·AC + AH·CB + HK·AB
= AH·(AC+CB)
= AH·AB
= (AL+LH)·(AC+CB)
= AL·AC + AL·CB + LH·AC + LH·CB
= AL·AC + LH·AC + CB(AL+LH)
= AL·AC + LH·AC + CB·AH
= AL·AC

on a bien AK·AB= AL·AC ( et biensûre, ce sont tous des vecteurs)