[arithmétique] Equation dans IN^n

[erff]

Bonjour à tous,

J'ai un petit souci sur une équation, le but est de trouver n tel que cette équation possède des solution entières...

Voici la bête :

En supposant que

Je sens intuitivement que n devra être un carré parfait, car la solution : convient...

Mais dans le cas où n n'est pas un carré parfait je n'arrive pas à montrer qu'il n'y a pas de solutions...j'ai essayé de raisonner avec des inégalités mais ça ne m'a pas avancé, à part que 1< x1^2 < n et xn^2 > n
J'ai aussi vu que les xi ne peuvent pas être tous différents car Pi^2/6 - 1 < 1...

Voilà !

Si qqun avait une piste...ca serait sympa.

Merci
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[Médiat]

Je sens intuitivement que n devra être un carré parfait,

x₁ = 2
x₂ = 5
x₃ à x₇₃ = 10, marche il me semble

[erff]

Effectivement

Fallait le trouver quand même !!!

Merci, ça élargit le champ de recherche.

[invité576543]

Bonjour,

Le plus petit n non carré que j'ai trouvé pour le moment est 6.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[erff]

Je précise que cet exo n'est pas un exo qu'on m'a posé en cours, c'est une sorte de défi...donc je pense que la solution n'est pas triviale du tout.

Bref, sinon je n'ai rien de nouveau...

[invité576543]

Je le demande si tous les n ou presque ne sont pas solutions.

2 et 3 ne le sont pas, 5 j'ai de sérieux doutes qu'il ne l'est pas, mais j'ai 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Cordialement,

[invite35452583]

Tous les n conviennent à partir d'un certain rang.
Idée :
déjà il suffit de montrer qu'il existe n entiers x1, ..., xn tels que 1/x1²+...+1xn²=1 (on peut les ranger après).
S'il existe une solution pour n alors il existe une solution, somme toute évidente il suffit d'y penser, pour n+3 (indice : sur le même modèle on montre aussi qu'il en existe aussi pour n+8, n+15, n+24, n+35...)
Si n convient alors tous les n+3k conviennent. Il suffit de trouver trois n consécutifs pour s'assurer du 1er résultat annoncé.
1 convient donc 1+3=4, 4+3=7, 7+3=10, 10+3=13 conviennent
9 convient donc 9+3=12 convient
14 convient (solution avec des 2, des 3 et "beaucoup" de 6)
Donc dès que n>=12, on est sûr qu'il existe au moins une solution.
1 convient
2 non
3 non
4 oui
5 je ne pense pas
6 apparemment oui (salut Michel )
7 oui
8 aucune idée
9 oui
10 pt'et ben que oui pt'et ben que non
11 il faut regarder
Il reste 4 cas à regarder pour Michel (voir que 3 s'il y a une solution pour 8), 5 pour les autres dont moi.

[Médiat]

5 je ne pense pas

5 c'est clairement non, il suffit de raisonner sur les plus petites valeurs utilisables (il faut au moins 3 fois le 2 or 4 fois le 2 est impossible, le reste est trivial, et sur le même ton)

[invité576543]

Pour 6, c'est 3/4 + 2/9 + 1/36

Pour 8 2/4 + 4/9 + 2/36

Cordialement,

[invité576543]

Pour 10, 3/4 + 6/25 + 1/100

Pour 11, 2/4 + 3/9 + 6/36

[invité576543]

S'il existe une solution pour n alors il existe une solution, somme toute évidente il suffit d'y penser, pour n+3 (indice : sur le même modèle on montre aussi qu'il en existe aussi pour n+8, n+15, n+24, n+35...)

Plus généralement n1+n2-1 est solution si n1 et n2 sont solutions.

Cordialement,

[invité576543]

Du coup, tous les nombres sont solutions à partir d'un certains rang même ne se limitant à des x_i de la forme 2^a3^b, puisque 3 et 8 sont premiers entre eux...

Cordialement,

[erff]

Du coup, tous les nombres sont solutions à partir d'un certains rang même ne se limitant à des x_i de la forme 2^a3^b, puisque 3 et 8 sont premiers entre eux...

Cordialement,

Merci à vous pour vos réponses

Cordialement,

[invite35452583]

2 et 3 ne le sont pas, 5 j'ai de sérieux doutes qu'il ne l'est pas, mais j'ai 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Oups je ne l'avais pas vu.

5 c'est clairement non, il suffit de raisonner sur les plus petites valeurs utilisables (il faut au moins 3 fois le 2 or 4 fois le 2 est impossible, le reste est trivial, et sur le même ton)

Pour 6, c'est 3/4 + 2/9 + 1/36

Je m'en suis rendu compte après mais je me suis d'abord intéressé à régler le cas "n assez grand"

Pour 8 2/4 + 4/9 + 2/36

Celui-là je ne l'avais pas trouvé, il ressemble pourtant à ma solution pour 14 2/4+2/9+10/36.

Du coup, tous les nombres sont solutions à partir d'un certains rang même ne se limitant à des xi de la forme 2a3b, puisque 3 et 8 sont premiers entre eux...

On a même mieux :
pour les congrus à 0 modulo 3 : 3 n'est pas solution et c'est la seule, 6 l'est avec que des xi de cette forme
pour les congrus à 1 modulo 3 : 1 est est solution et donc tous le sont avec cette forme (on peut même se limiter à des puissances de 2).
pour les congrus à 2 modulo 3 : 2 et 5 ne sont pas solutions et ce sont les seules, 8 est solution avec que des xi de cette forme
Comme le passage de n à n+3 se fait en n'introduisant que du "2", on a :
n est solution avec des xi entiers quelconques <=> n est solution avec des xi de la forme 2^a3^b <=> n distinct de 2, 3 et 5.