Bonjour, je sollicite votre aide pour la résolution d'une équation en arithmétique:
Trouver tous les entiers n naturels tels que:
5^n + 4^n + 20 (mod 7)
Voilà j'ai réussi à trouver une réponse avec l'utilisation de tableaux et par disjonction de cas, cependant je trouve que ma méthode n'est pa rigoureuse.
J'aimerai donc que vous me proposiez une méthode pour la résolution de cet exercice en particulier et qui soit valable en génral pour ce type de problème;
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Je ne vois pas ce qui te chiffone vraiment dans la méthode que tu as utilisé.
Pour la rigueur, il faut juste évoquer le bon théorème à savoir le petit théorème de Fermat :
si n est premier alors pour tout m, m^n est congru à m modulo n. en particulier si m est premier avec p alors m^(n-1) est congru à 1 modulo n.
Ici, on a donc en posant n=6k+p
de même
De plus, si a, b et c sont respectivement congrus à a', b' et c' modulo 7 alors a+b+c est congru à a'+b'+c' modulo 7.
Il suffit donc de regarder pour les valeurs de 0 à 5.
Un tableau à (1+3+1) lignes et à (1+6 colonnes)
p........0 1 2 3 4 5
5^p
2^p
2
somme
Et regarder quelles valeurs de p conviennent.
On vérifie que la seule valeur valide est 5.
d'où n est solution si et seulement si n est congru à 5 modulo 6 càd n=6k+5 ce qui est bien ce que tu as obtenu.
Il y a parfois des moyens de faire plus vite mais il n'y a pas de méthode générale autre niveau lycée.
D'accord merci beaucoup j'ai juste peur que cette méthode ne soit pas assez rapide en DS
COrdialement!
