Arithmetique

[invite52487760]

Salut :
Est ce qu'on peut étudier l'arithmetique au moyen de l'algèbre linéaire et du calcul matriciel ?
Merci d'avance !!
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[Ledescat]

Bonsoir.

Certains problèmes utilisent ces domaines là en effet.

J'ai en tête la démonstration du théorème des 4 carrés de Lagrange, qui peut passer par un calcul matriciel (ça ne fait pas toute la démo cela dit).

Ou le fait de montrer que, pour tous (a,b,c,d) entiers, il existe e et f tels que:

(a²+b²)(c²+d²)=(e²+f²)

Il suffit de prendre les matrices
a b
-b a

c d
-d c


D'en faire le déterminant, et d'utiliser le fait que le déterminant du produit de matrices, c'est le produit des déterminants.

Au passage, on peut passer par le module complexe, ce qui est rigoureusement analogue à mon déterminant, car mes matrices représentent canoniquement les complexes a+ib et c+id .


Tout ça pour dire que tout est relié...

[moloch]

il est possible d'étudier les suites reccurentes linéraires (la suite de Fibonnacci en est un cas particulier) avec des matrices.

ex : fibonnacci
U0=0, U1=1, Un+1=Un+Un-1

(Un+1) (1 1) (Un )
(Un ) = (1 0)*(Un-1)

on trouve le terme général de la suite en élevant la matrice à la puissance n, d'où diagonalisation et recherche des valeurs propres (qui font intervenir le nombre d'or)

[indian58]

il est possible d'étudier les suites reccurentes linéraires (la suite de Fibonnacci en est un cas particulier) avec des matrices.

ex : fibonnacci
U0=0, U1=1, Un+1=Un+Un-1

(Un+1) (1 1) (Un )
(Un ) = (1 0)*(Un-1)

on trouve le terme général de la suite en élevant la matrice à la puissance n, d'où diagonalisation et recherche des valeurs propres (qui font intervenir le nombre d'or)

D'ailleurs en programmation cela permet de réduire fortement les coûts de calcul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Non, moi ce que je cherche c'est de voir s'il est possible de creer de petit espaces "vectoriels" ( c'est vrai, il n'y'a pas de vecteur là, mais quant tu dis par exemple signifie que si on puisse ecrire comme ça ) avec de petites bases ( je sais que c'est pas possible, mais quelques choses de très proche à la notion de base ) ( et par rapport à la loi additive et pas multiplicative ( sinon, on serait confronté au probème de nombres premiers , ce que je veux pas ) ( mais avec la loi additive le theorème de bezout permet d'aller plus loin je pense ) !
bon, ce sera sympas si quelqu'un puisse m'aider à trouver une piste pour faire de l'arithmetique mais avec de l'algèbre linéaire) si la notion d'espaces vectoriels et de base et de corps ne sont pas presents, est ce qu'il a des notions plus proches de celles çi avec les quelles on peut faire de l'arithmetique ?
Merci infiniment !!

[DSCH]

Bonjour, connais-tu la notion de module sur un anneau ? La définition est la même que celle d'un espace vectoriel sur un corps, à ceci près que tu remplaces le corps de base par un anneau. J'ai l'impression que c'est cela que tu as en tête. La théorie des modules est cependant plus compliquée que celle des espaces vectoriels. En particulier on n'a pas une théorie de la dimension aussi simple dans le cas des modules ; même l'existence de bases n'est pas garantie…

[invite52487760]

Je connais pas beaucoup de choses en theories des modules ! mais je vais verifier ça !! Merci beaucoup !!