Arithmétique, résolution équation

[invited622d663]

bonjour, on vient juste de commencer l'arthmétique, donc nous n'avons établis aucune leçon pour le moment.

Je souhaite connaître une méthode pour résoudre (donner moi la réponse avec pour comprendre à 100%, car j'en ai d'autre à résoudre)

4x congrue à 3 modulo 7

Merci


Voici une autre question
1) Trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division 5^n par 13 (je l'ai faite)

2) En déduire que 1981^1981 -5 est divisible par 13. (je l'ai faite aussi)


3)Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N= 31^(4n+1) + 18^(4n-1) est divisible par 13

(j'ai besoin de vous pour m'indiquer une méthode pour la question 3)

Merci
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[invite1237a629]

Pour la 1/, je ne suis pas sûre, parce que ce que j'ai n'est pas une méthode de lycée.

Pour la 3/, une petite méthode :

Il y a une formule qui te permet d'écrire que si , alors .

L'astuce se trouve dans le fait que toute puissance de 1 est égale à 1

Donc débrouille toi pour trouver les puissances intéressantes qui seront congrues à 1.

Dans ton exemple : N= 31^(4n+1) + 18^(4n-1), décompose 31^(4n+1), en te servant de ces formules :



et


En gros, 31^(4n+1) pourra s'écrire de la forme

[invite787dfb08]

Pour la 1) :

tableau de congruence :

x congure 0,1,2,3,4,5,6 [7]
donc 4x congrue : 0, 4, 1, 5, 2, 6, 3 (en fonction de x)

(voir les propriété de Mimoimolettes)

donc 4x congrue 3 [7] si et seulement si x congrue 6 [7], et donc l'ensemble de solutions sont les nombres de la forme 7k+6 pour tout k appartenant à Z.

[invited622d663]

Merci bien, j'ai compris la technique j'ai reussi à les faire.

[A voir en vidéo sur Futura]