Resolution equation

[invite204ce29c]

Bonjour,

Est ce quelqu'un pourrait m'aider à résoudre cette équation :
d²B/dx² + d²B/dy² = -K cos(kx)cos(ky).

Je ne vois pas comment faire.....étant donné que les variables x et y sont "couplées".

Merci d'avance
Marie
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[invitefa5fd80c]

Bonjour Marieh,

Ton équation est une équation linéaire du second degré inhomogène. Dans ce type de situation, on résoud l'équation homogène associée, c'est-à-dire dans ce cas-ci :



Pour résoudre ce type d'équation, on essaie habituellement de séparer les variables et . Ici, compte tenu de la forme de l'équation, la façon de séparer les variables est d'écrire la solution sous la forme :



Si tu remplaces dans l'équation différentielle et que tu divise par , tu obtiens:



c'est-à-dire :



Étant donné que et sont des variables indépendantes, on doit alors avoir :



où C est une constante quelconque. Tu as alors deux équations différentielles linéaires homogènes à une seule variable. Je te laisse résoudre ces deux équations

La solution de ces deux équations fournira 4 constantes d'intégration permettant d'avoir la solution pour des conditions initiales arbitraires.

Ensuite il faut trouver une solution particulière au problème inhomogène :



Ici, il faut y aller au pif. Je te laisse essayer la solution :



La solution à ton équation initiale est la somme de la solution du problème homogène et de la solution particulière

Cordialement

[invite204ce29c]

Rebonjour,
Merci pour ces indications....elles ont permis de débloquer les calculs!
Par contre, j'ai encore un pb : quand je calcule F et G, je trouve des solutions en exp qui contiennent la constante C.J'ai donc, 4 constantes d'intégration + C à déterminer. C'est normal?

Merci encore
Marie

[invitefa5fd80c]

Par contre, j'ai encore un pb : quand je calcule F et G, je trouve des solutions en exp qui contiennent la constante C.J'ai donc, 4 constantes d'intégration + C à déterminer. C'est normal?

Tu as tout à fait raison, il y a 5 paramètres libres dans la solution, mais pour l'instant je n'en vois pas la raison exacte, je vais chercher.

Étant donné que et sont liées l'une à l'autre par l'équation différentielle, tu peux par exemple fixer la valeur de ces 5 paramètres en spécifiant , , , et en un point quelconque. Ici représente la dérivée partielle par rapport à et ainsi de suite pour les autres.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa5fd80c]

Par contre, j'ai encore un pb : quand je calcule F et G, je trouve des solutions en exp qui contiennent la constante C.J'ai donc, 4 constantes d'intégration + C à déterminer. C'est normal?

Rebonjour,

J'ai réexaminé la question.

La constante plus haut peut prendre n'importe quelle valeur. Pour chaque valeur de la constante , on obtient deux solutions et linéairement indépendantes pour l'équation sur et deux solutions et linéairement indépendantes pour l'équation sur . Par conséquent on a quatre solutions , , et linéairement indépendantes pour l'équation homogène sur . Toute superposition linéaire de ces quatre solutions est solution de l'équation homogène sur .

Maintenant la constante est arbitraire et toute superposition de solutions correspondant à des valeurs de différentes est solution de l'équation homogène sur . Nous avons donc une infinité de solutions à l'équation homogène sur , chacune étant caractérisée par une valeur donnée du paramètre .

Cette situation est typique des équations différentielles à plus d'une variable indépendante. Les conditions initiales ne sont pas quelques valeurs spécifiées en un point (comme c'est le cas avec une seule variable indépendante) mais sont généralement spécifiées par la valeur de la fonction (et de ses dérivées) sur la frontière d'une région. Le sujet est assez vaste et souvent complexe.

Cordialement

[invite204ce29c]

Merci beaucoup pour votre aide. C'est très gentil.

Marie