Arithmetique dans Z

[invite55f6750d]

Bonjour,
J'ai de mal a resoudre les équations suivantes
Résoudre dans l'ensemble indiqué
i)
ii)
ii)

Merci de m'aider.
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[invite03f2c9c5]

Bonjour,

Bonjour,
J'ai de mal a resoudre les équations suivantes
Résoudre dans l'ensemble indiqué
i)

Cela peut être une bonne idée de réécrire l'équation sous la forme ; tu n'as ensuite qu'à regarder comment la constante peut se décomposer en produit de deux diviseurs.

ii)

Même idée, avec un peu de forme canonique, tu devrais pouvoir obtenir , puis factoriser.

ii)

Celle-ci n'est pas triviale mais c'est un grand classique ; une petite recherche sur les « triplets pythagoriciens » devrait t'aider : il s'agit de rechercher les triplets d'entiers naturels correspondant aux longueurs des côtés d'un triangle rectangle, comme et . En général, on commence par ramener le problème à la recherche de solutions avec , et premiers entre eux dans leur ensemble (et on montre que dans ce cas, cela les force à être premiers entre eux deux à deux). Puis on raisonne sur la parité de ces nombres…

Je n'ai pas encore regardé cette dernière équation, désolé !

J'espère que ça aide.

[invite55f6750d]

Bonjour, DSCH
Pouvez-vous m'expliquer encore i)
Pour iii) c'est un systeme; on considere
et

[invite2220c077]

EDIT : Non rien en fait

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2220c077]

Je pense que cette fois-çi c'est la bonne pour le (iii), parcontre je préviens, c'est assez bourrin ....

 Cliquez pour afficher

Or d'après (2) nous obtenons , d'où :






Considérons cette équation d'inconnue z et de paramètres x et y.



Puisque pour tout entiers x et y, alors il reste à savoir pour quelles valeurs de x et y le polynôme en z admet des racines entières. Cela revient à résoudre, avec k un entier relatif :



Or le membre de gauche est irrationnel tandis que le membre de droite est entier, ce qui est impossible. Ainsi cette équation n'admet aucune solution dans Z.

[invite2220c077]

Ah parcontre moi je l'ai résolu dans Z, mais bon, c'est la même chose, j'avais pas vu que ton système était dans N.

EDIT : je me suis trompé dans la dernière ligne, il fallait comprendre

[inviteaf1870ed]

Pour la dernière question, voici ce que je propose :

La première équation s'écrit : (x+y)²=z²+2xy=z²+4(x+y+z)
Donc (x+y-z)(x+y+z)=4(x+y+z)
ON a donc un série de solutions avec x+y+z=0, qui entrainent xy=0, donc par exemple x=0 et y=-z
Sinon on reste avec x+y-z=4 qu'on réinjecte dans le système.